¿La mensurabilidad / continuidad de un mapeo sigue a la de sus secciones?

Question

Supongamos $\{ (G_i, \mathcal{G}_i), i=1,2 \}$ son medibles espacios. Su producto medible espacio es $(\prod_{i=1}^2 G_i, \prod_{i=1}^2 \mathcal{G}_i)$.

$(F, \mathcal{F})$ es otro espacio medible.

$g:\prod_{i=1}^2 G_i \rightarrow F $ es una asignación. Definir secciones de $g$ sobre cada componente del espacio de $G_i$ como sigue

$\forall x_1 \in G_1$ definir $g_{x_1}: G_2 \rightarrow F$ as $g_{x_1}(x_2) := g(x_1,x_2)$;

$\forall x_2 \in G_2$ definir $g_{x_2}: G_1 \rightarrow F$ as $g_{x_2}(x_1) := g(x_1,x_2)$.

1. Similar al Teorema de 18.1 de la Probabilidad y la Medida por Billingsley, puede ser demostrado que si $g$ es medible, entonces sus secciones son todos medibles. Me preguntaba si también es cierto lo contrario, es decir, si sus secciones son todos medible, es $g$ también medibles?
2. Si es cierto, va a ser verdad para arbitrariamente muchos $\{ (G_i, \mathcal{G}_i), i=I \}$?
3. También estoy preguntando acerca de las mismas preguntas cuando sustitución de medibles espacios con espacios topológicos, y la mensurabilidad de un la asignación por la continuidad de una asignación? (Voy a mover este topológico caso a otro post si las respuestas no son esencialmente basado en la misma idea.)

Gracias y saludos!

Answer 1

Para (3) considere la función $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}:\langle x,y\rangle\mapsto \begin{cases}\frac{2xy}{x^2+y^2},&\text{if }\langle x,y\rangle\ne\langle 0,0\rangle\\\\ 0,&\text{if }x=y=0\;; \end{casos}$$ $f$ es fácilmente visto para ser discontinua en el origen, pero todas sus secciones son continuas.

Añadido: antecedentes y referencias en diferentes frente a la articulación de la continuidad de ver Z. Piotrowski, Independiente frente a la articulación de la continuidad - una actualización, Proc. 29 Conferencia de Primavera de la Unión de Bulgaria.. De matemáticas. Lovetch (2000), 93-106, disponible aquí como Nº 51.

T. O. Banakh, O. V. Maslyuchenko, & V. V. Mykhaylyuk mostrar en Discontinuo por separado funciones continuas y cerca de la coherencia de $P$-filtros para que todos los no-discretas Tikhonov espacio de $X$ hay un Tikhonov espacio de $Y$, con una única no-aislado y un punto delimitado por separado continua $f:X\times Y\to\mathbb{R}$ que no está de forma conjunta, continua y utilizar este resultado para mostrar

Teorema: Para cualquier no-discretas Tikhonov espacio de $X$ hay $\sigma$acotado Abelian grupo topológico $G$ y por separado continua $h:X\times G\to \mathbb{R}$ que no es conjuntamente continua.

El documento está disponible aquí como Nº 125.

Para (1), Maxim R. Burke, Borel medición por separado de funciones continuas, la Topología y sus Aplicaciones 129 (2003), 29-65, menciona que Walter Rudin, en Lebesgue del primer teorema (en L. Nachbin (Ed.), El Análisis matemático y Aplicaciones, Parte B, en los Avances en Matemáticas Estudios Complementarios, Vol. 7B, Academic Press, Nueva York, 1981, pp 741-747), da un 'ejemplo muy simple de un no-Borel por separado función continua $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^\mathbb{R}$', pero no lo he visto. En Borel medición por separado de funciones continuas, II, Topología y sus Aplicaciones 134 (2003), 159-188, señala que D. K. Burke & R. Pol, En los conjuntos de Borel en función de los espacios con la topología débil, J. Londres Matemáticas. Soc.(2) 68 (2003), 725-738, han demostrado que si $X$ es un infinito compacto $F$-espacio sin puntos aislados o un Baire $P$-espacio sin puntos aislados, entonces la evaluación map $e:X\times C_p(X)\to\mathbb{R}:\langle x,f\rangle\mapsto f(x)$ no es Borel medible, aunque es separadamente continua. (Un espacio de $X$ $F$- espacio si cada cozero conjunto en $X$ $C^*$- incrustado en $X$. hay muchos compacto $F$-espacios, puesto que $\beta X\setminus X$ $F$- espacio cuando $X$ $\sigma$- compacto, localmente compacto espacio. Un $P$-espacio topológico, espacio en el que todos los $G_\delta$-conjunto es abierto).

Answer 2

Para la continuidad, la respuesta es no (al menos si estoy interpretando correctamente su definición de continuidad para "secciones"). Aquí está el contraejemplo estándar. Defina una función$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ por$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ si$(x,y) \neq (0,0)$ y$f(0,0)=0$. Claramente,$f$ se aleja continuamente de$(0,0)$, pero es un ejercicio fácil (que normalmente doy al enseñar cálculo) que$f$ no es continuo en$(0,0)$. Sin embargo, las funciones$f(0,y)=0$ y$f(x,0)=0$ son definitivamente continuas.

Answer 3

Tome por ejemplo$G_1 = G_2 = [0,1]$ con Borel$\sigma$ - álgebra, y permita que$A$ sea un subconjunto no perteneciente a Borel de la diagonal. (Por ejemplo, permita que$E$ sea un subconjunto no de Borel de$[0,1]$ y deje$A = \{ (x,x) : x \in E \}$.) Entonces, la función de indicador$1_A$ no se puede medir, pero puede verificar que todos de sus secciones son.