Por que es $P(X,Y|Z)=P(Y|X,Z)P(X|Z)$?

Question

Alguien podría derivar o explicar por qué la fórmula $P(X,Y|Z)=P(Y|X,Z)P(X|Z)$ es cierto? Entiendo que la probabilidad condicional de definición, pero esta fórmula me confunde y hace que me duela la cabeza x)

Aquí hay otro similar que he luchado para entender:

$$p(\mathbf{x}, \mathbf{\theta}|\mathcal{X})=p(\mathbf{x}|\mathbf{\theta},\mathcal{X})p(\mathbf{\theta}|\mathcal{X})$$

Podría alguien explicar esto para mí? Esta fórmula es de mis redes neuronales libro, pero no tengo idea de por qué esto es cierto, aunque entiendo que el básico de probabilidad condicional de la fórmula $P(A|B) = \displaystyle\frac{P(A,B)}{P(B)}$. Si puedo usar esta fórmula, lo que yo haría para mi libro de ejemplo es este:

$P(\mathbf{x},\mathbf{\theta}|\mathcal{X}) = \displaystyle\frac{P(\mathbf{x},\mathbf{\theta},\mathcal{X})}{P(\mathcal{X})}$ x(

Podría alguien calmar mi frustración ;D

Gracias!

Answer 1

Desde$$ P(X,Y|Z) = \frac{P(X,Y,Z)}{P(Z)}$ $$$ P(Y|X,Z) = \frac{P(X,Y,Z)}{P(X,Z)}$ $$$ P(X|Z) = \frac{P(X,Z)}{P(Z)}$ $ tenemos$$P(Y|X,Z) P(X|Z)=\frac{P(X,Y,Z)}{P(X,Z)}\frac{P(X,Z)}{P(Z)}=\frac{P(X,Y,Z)}{P(Z)}=P(X,Y|Z).$ $ Esto también es intuitivo: la probabilidad de que$X$ y$Y$ sucedan si sabemos que$Z$ sucede es lo mismo que la probabilidad de que$X$ suceda cuando sabemos que$Z$ sucede y que luego$Y$ sucede cuando sabemos que$X$ y$Z$ ocurrir.

Answer 2

Anotemos$\mathbb P_{\mathrm Z}$ la probabilidad$\mathbb P(...|\mathrm Z)$. Luego aplica tu fórmula:$\mathbb P_{\mathrm Z}(X,Y) = \mathbb P_{\mathrm Z}(X | Y) \mathbb P_{\mathrm Z}(Y)$.

Ahora$\mathbb P_{\mathrm Z}(X |Y) = \mathbb P_{\mathrm {Z, Y}}(X)$ porque ambos son iguales a$\frac{\mathbb P_{\mathrm Z}(X,Y)}{\mathbb P_{\mathrm Z}(Y)} = \frac{\mathbb P(X,Y,Z)}{\mathbb P(Y,Z)}$.