$\det (A+B)=\det (A-B)$ demuestre que $B^{-1}$ existe si $b_{11}\neq b_{21}$

Question

Sea $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{3\times 3}$ y que $B=\left [b_{ij}\right ]\in \mathbb{R}^{3\times 3}$ tal que $\det \left (A+B\right )=\det \left (A-B\right )$ . Demostrar que $B$ es invertible si y sólo si $b_{11}\neq b_{21}$ .

Tras simplificar utilizando propiedades del determinante, la condición $\det \left (A+B\right )=\det \left (A-B\right )$ se convierte en $\det \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & 2 \\ b_{21} & b_{22} & 2 \\ b_{31} & b_{23} & 3 \end{pmatrix}=-\det \begin{pmatrix} b_{11} & 1 & b_{13} \\ b_{21} & 1 & b_{23} \\ b_{31} & 2 & b_{33} \end{pmatrix}$ siempre que no haya cometido ningún error. Esto no me parece concluyente y no creo que sea el enfoque correcto para la solución. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

$$det(A+B) = det(B) + det \begin{pmatrix} b_{11} & 1 & b_{13}\\ b_{21} & 1 & b_{23}\\ b_{31} & 1 & b_{33} \end{pmatrix} + det \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & 2\\ b_{21} & b_{22} & 2\\ b_{31} & b_{32} & 3 \end{pmatrix} + det \begin{pmatrix} b_{11} & 1 & 2\\ b_{21} & 1 & 2\\ b_{31} & 2 & 3 \end{pmatrix} $$ $$det(A-B) = -det(B) + det \begin{pmatrix} b_{11} & 1 & b_{13}\\ b_{21} & 1 & b_{23}\\ b_{31} & 1 & b_{33} \end{pmatrix} + det \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & 2\\ b_{21} & b_{22} & 2\\ b_{31} & b_{32} & 3 \end{pmatrix} - det \begin{pmatrix} b_{11} & 1 & 2\\ b_{21} & 1 & 2\\ b_{31} & 2 & 3 \end{pmatrix} $$ para que tengas $$ det(B) = -det \begin{pmatrix} b_{11} & 1 & 2\\ b_{21} & 1 & 2\\ b_{31} & 2 & 3 \end{pmatrix} = b_{11} - b_{21} $$ y es cero si y sólo si $b_{11}=b_{21}$ .