¿Cuál es el radio de convergencia de la serie hipergeométrica?

Question

<blockquote> <p>Encontrar el radio de convergencia de $$F(\alpha,\beta,\gamma,z)=1+\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)\beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)}{n!\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)}z^n$ $ aquí $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ y $\gamma \neq 0,-1,-2,\cdots$.</p> </blockquote> <p>Configurar $$c_n=\frac{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)\beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)}{\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)},\qquad a_n=\frac{c_n}{n!}$ y $$\color{red}{c_n\sim\left(\frac{\alpha\,\beta}{\gamma}\right)^n}, \qquad n\to\infty$ $ por lo tanto, el radio de convergencia $R$ puede encontrarse usando la fórmula de Cauchy-Hadamard</p> <p>$$R=\frac{1}{\lim\sup|a_n|^{1/n}}=\left|\frac{\gamma}{\alpha\,\beta}\right|\cdot\lim_\limits{n\to\infty}\sqrt[n]{|n!|}=\left|\frac{\gamma}{\alpha\,\beta}\right|\cdot\infty=\infty.$$</p> <p>Esto concluiría que $F(\alpha,\beta,\gamma,z)$ es una función entera, pero no sé si estos pasos son correctos.</p> <hr> <p>Me di cuenta de que la parte en rojo no es cierto. ¿Cuál sería una mejor aproximación?</p>

Answer 1

No es correcto que $c_n\sim\left(\frac{\alpha\beta}{\gamma}\right)^n$. Para conseguir una correcta asintótica, tendrá a Stirling aproximación. Como $x\to\infty$,$\Gamma(x)\sim x^{x-1}e^{-x}\sqrt{2\pi x}$. El uso de $\alpha(\alpha+1)\ldots(\alpha+n-1)=\Gamma(\alpha+n)/\Gamma(\alpha)$, se puede calcular $$ a_n\sim\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} n^{\alpha+\beta\gamma}\asymp n^{\alpha+\beta\gamma}, $$ a partir de la cual se puede calcular que el $\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1$.

Un enfoque diferente para determinar el radio de convergencia sería el uso de la prueba de razón. El radio de convergencia es dado por el límite $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(\gamma+n)}{(\alpha+n)(\beta+n)}=1, $$ siempre que el límite exista.