Número de raíces de un determinado polinomio en $F_{121}$

Question

Pregunta: Determine el número de raíces de $f(x)=x^{12}+x^8+x^4+1$ en $\mathbb{F}_{121}$ .

Me dijeron que una solución a este problema podría, o quizás debería, utilizar el hecho de que $\mathbb{F}_{121}^\times$ es cíclico, pero actualmente no veo cómo esto ayuda. Mi intento de solución está escrito abajo, pero no creo que sea el enfoque correcto. ¿Cómo funciona el hecho de que $\mathbb{F}_{121}^\times$ ¿se trata de un juego cíclico?

Mis pensamientos: En primer lugar, observe que si $g(x)=x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)$ entonces $g(x^4)=f(x),$ así que $\beta\in \mathbb{F}_{121}$ es una raíz de $f$ si y sólo si $\beta^4=\alpha$ para algunos $\alpha\in \mathbb{F}_{121}$ que es una raíz de $g$ . En particular, si $\alpha$ es una raíz de $g$ y $\alpha\in (\mathbb{F}_{121})^{\times 4}$ entonces $\alpha$ corresponderá a una raíz de $f$ (la "cuarta raíz" de $\alpha$ en $\mathbb{F}_{121}$ ). Dado que $y^2+1\in\mathbb{F}_{11}[y]$ es irreducible, sabemos que $$ \mathbb{F}_{121}\cong \frac{\mathbb{F}_{11}[y]}{(y^2+1)}\cong \mathbb{F}_{11}(i) $$ donde $i^2=-1$ . Con esta notación, encontramos que $g(x)=(x+1)(x+i)(x-i)\in \mathbb{F}_{11}(i)$ . Así que tenemos que comprobar si $-1,\pm i$ están en $(\mathbb{F}_{121}^\times)^4$ . En este punto, no estoy muy seguro de cómo proceder más allá de comprobar las soluciones a $(a+bi)^4=c$ para $a,b\in \mathbb{F}_{11}$ y $c\in \{-1,\pm i\}$ pero creo que debe haber una forma mejor... Como nota al margen, hice un cálculo en PARI/GP y encontré que $x^{12}+x^8+x^4+1$ tiene $4$ raíces, así que sabemos cuántas debe haber, pero no sé cómo se puede calcular bien a mano.

Answer 1

Como usted dijo $\mathbb F_{121}^\times$ es cíclico, por lo que es isomorfo a $\mathbb Z/120\mathbb Z$ como grupo, y $120 = 2^3 \times 3\times 5$ .

También $f(x) = \frac{x^{16}-1}{x^4-1}$ por lo que las raíces de $f(x)$ son las raíces 16ª de la unidad menos las raíces 4ª de la unidad. $\mathbb Z/120\mathbb Z$ tiene 8 elementos de orden 8, 4 de ellos de orden 4, pero ninguno de orden 16. La respuesta es 4.

Por otro lado, sus cálculos $f(x) = (x^8 + 1)(x^4 + 1)$ también da mucha información: Si $x^8 + 1 = 0$ entonces $x^{16} = 1$ Así que tal $x$ son las raíces primitivas 16ª de la unidad, y no hay ninguna. Si $x^4 + 1 = 0$ entonces $x^{8} = 1$ Así que tal $x$ son las raíces 8ª primitivas de la unidad, y hay 4 de ellas.