¿Cómo son las soluciones para sumas finitas de números naturales derivados?

Question

Así que, he estado aprendiendo la teoría de conjuntos en mi propio (Lin, Shwu-Yeng T., y Usted-Feng Lin. Teoría De Conjuntos: Un Enfoque Intuitivo. Houghton Mifflin Co., 1974.) y han llegado a través de infinitas sumas de números naturales. Desde que tomó Álgebra II hace muchos años, he conocido de los resultados de estas sumas de dinero para el propósito de la resolución de sumatorias. (También sé de la fórmula (y sus defectos) que indica la suma del conjunto de los números naturales es $-1/12$). Apenas para la referencia, he enumerado seis serie infinita de números naturales de abajo (que son los seis mencionados en los 44 años de edad de libros de texto que estoy usando):

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ $$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}$$ $$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$$ $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$$

Ahora que he comenzado el aprendizaje de la teoría de conjuntos, ahora sé cómo demostrar estos resultados utilizando inducción matemática (que por cierto, yo tenía un montón de diversión el hacer). Sin embargo, todavía tengo un par de preguntas sobre este tema. En primer lugar, a través de mi propia investigación, he encontrado una lista de matemática de la serie en la Wikipedia, pero esta lista no tiene todas las series que figuran en el libro de texto. Así, hay una lista de otros lugares de todas las series de los números naturales, y si es así, entonces ¿dónde? (Ahora que lo pienso de ella, lo que si hay es una cantidad infinita de una serie infinita; a pesar de que este puede ser el caso, obviamente, no todos de ellos sería práctico, como muchos tal vez podría ser simplificado en general de los casos). Segundo (y más importante), a pesar de que sé cómo demostrar estos resultados utilizando inducción matemática, no sé cómo se derivan de ellos. ¿Cómo se podría ir sobre la realidad derivar un resultado de una serie infinita? El método no podía ser de prueba y error mediante el uso de la inducción matemática aleatorios expresiones. No puedo pensar en un método de mí mismo en este momento, pero sé que debe haber alguna forma de hacer esto. Y por último, si usted puede pensar en un mejor título para la pregunta, por favor hágamelo saber, ya que yo tengo problemas para venir para arriba con un título adecuado. Gracias de antemano a quien es capaz de ayudar!

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

es un clásico, resultado que puede ser fácilmente demostrado por el siguiente truco

y también

$$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}$$

puede ser derivada por una táctica similar en 3D

Tenga en cuenta que

$$\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$$

es simplemente

$$\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k$$

y

$$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$$

es

$$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=2\sum_{k=1}^{n} k -\sum_{k=1}^{n} 1=2\left(\sum_{k=1}^{n} k\right) - n$$

Más en general, en este tipo de sumas puede ser computated por Faulhaber la fórmula y puede ser derivado de uno de los anteriores por un buen telescópica truco.

Por ejemplo, para $\sum k^2$ nota de que

$$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \implies n^3-1=3\sum_{k=1}^{n} k^2+3 \sum_{k=1}^{n} k +n $$

a partir de que $\sum_{k=1}^{n} k^2$ se pueden derivar.

El último argumento de demostrar que $\sum_{k=1}^{n} k^m$ se expresa mediante un polinomio de grado $m+1$.

Para la última suma $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$ se refieren a la discusión por Ross Millikan.

Answer 2

Hay una discreta analógicas de cálculo conocido como la "diferencia " cálculo", que proporciona un método para evaluar finito de sumas, de forma análoga a la manera en que las integrales son evaluados en el cálculo. Deje $D$ ser el delantero diferencia operador que toma una función $f:\mathbb R \to \mathbb R$ como entrada y devuelve como salida la función de $Df$ definido por $$ Df(x) = f(x + 1) - f(x). $$ En el cálculo, integrales son evaluados usando el teorema fundamental del cálculo, que establece que $\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$ (bajo suave de hipótesis). El análoga hecho en la diferencia de cálculo es que $$ \sum_{k=0}^N Df(k) = f(N+1) - f(0). $$ (Usted puede probar este hecho fácilmente.) Este hecho proporciona un método para evaluar finito de sumas, de forma análoga al método para evaluar las integrales de cálculo.

En el cálculo, es útil para crear tablas de derivados. Del mismo modo, cuando se estudia la diferencia de cálculo es útil para crear una tabla de diferencias:

\begin{array}{c|c} f(x)& Df(x) \\ \hline g(x) + h(x) & Dg(x) + Dh(x) \\ \hline c g(x) &c Dg(x) \\ \hline \text{constant} & 0 \\ \hline x & 1 \\ \hline x^2 & 2x + 1 \\ \hline \color{red} ? & x \\ \hline \end{array} Usted puede comprobar fácilmente que las entradas de esta tabla son correctos. Puede usted llena en el signo de interrogación?

Para llenar en el signo de interrogación, debemos encontrar una función cuya diferencia es $x$. Vemos que la diferencia de $x^2$ parece como $x$, pero hay un "+1" y un factor de 2 en el que queremos no estaban presentes. Podemos hacer el "+1" desaparece por sustrae una función cuya diferencia es $1$, y a continuación, podemos hacer que el factor de 2 a desaparecer mediante la ampliación de nuestra función por $1/2$. Hemos descubierto que si $$ \etiqueta{$\spadesuit$} f(x) = \frac{x^2 - x}{2} $$ entonces $Df(x) = x$.

Ahora estamos listos para evaluar una interesante finito suma usando el hecho de que $\sum_{k=0}^N Df(k) = f(N+1) - f(0)$. Con la elección de $f$ dada en la ecuación ($\spadesuit$), este hecho nos dice que $$ \sum_{k=0}^N k = \frac{(k+1)k}{2}. $$

Eso es un ejemplo sencillo de cómo evaluar finito de sumas mediante la diferencia de cálculo. En el cálculo de evaluar las integrales por encontrar antiderivatives. En la diferencia de cálculo evaluamos finito de sumas mediante la búsqueda de "anti-diferencias". Puede proceder de la siguiente manera para evaluar de forma más complicadas sumas.

Hay más en este tema, por el camino. Aquí están algunas cosas a considerar:

• ¿Cuál es la diferencia de la función $$ f(x) = x^{(n)} = x(x-1)(x-2) \cdots (x - n + 1). $$ (La cantidad de $x^{(n)}$ es leer "$x$ caída $n$", y juega un papel en la diferencia de cálculo de forma análoga a la función de $x^n$ en el cálculo.)
• ¿Qué es el discreto analógica de la regla del producto?
• ¿Qué es el discreto analógica de integración por partes? (Se llama "suma por partes".)
• ¿Qué es el discreto analógica de la función $e^x$? (En otras palabras, se puede encontrar una función cuya diferencia es la misma?)
• El uso de la sumación por partes a evaluar $\sum_{k=1}^N k 2^k$. (De forma análoga, en el cálculo que debemos usar integración por partes a evaluar $\int x e^x \, dx$.)
• En el cálculo escribimos polinomios como $$ a_0 + a_1 x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n. $$ ¿Cuál es la forma natural de escribir los polinomios en la diferencia de cálculo? ¿Qué es una fórmula para los coeficientes $a_i$? (Esto arroja luz sobre el de Newton el método de diferencias divididas para el polinomio de interpolación.)
• Lo que es análogo a una potencia de la serie en la diferencia de cálculo? En la diferencia del cálculo, de lo que es la serie para $2^x$? Para que los valores de $x$ es la serie válido? (Trate de tomar $x$ a ser un entero positivo para recuperar un estándar de la combinatoria de identidad.)

Answer 3

A juzgar por sus ejemplos, me interpretar su "serie infinita" para significar "la secuencia de sumas parciales asociada con algunas de secuencia". Voy a llamar a estos "suma parcial expresiones".

Así, hay una lista de otros lugares de todas las series de los números naturales, y si es así, entonces ¿dónde?

De hecho, esto no es posible, ni siquiera en principio. Cada suma parcial de la expresión se asocia con una única secuencia $a_{(-)}:\mathbb{N}\to R$, $n\mapsto a_n$. Denota el conjunto de todas las secuencias con un determinado rango de $R$$R^{\mathbb{N}}$. Listado de los elementos de $R^{\mathbb{N}}$ (tal vez con la repetición) implicaría la producción de un surjection $I\twoheadrightarrow R^{\mathbb{N}}$ a partir de un cierto índice conjunto de los números naturales $I\subset \mathbb{N}$ (básicamente, una "enumeración"). Pero si $R$ tiene al menos dos elementos, no hay tal surjection existe!

Por otro lado, se pueden enumerar suma parcial de las expresiones que corresponden a computable secuencias. Voy a llamar a estos "computable suma parcial expresiones".

Segundo (y más importante), a pesar de que sé cómo demostrar estos resultados utilizando inducción matemática...

Incluso si sólo computable suma parcial expresiones se consideran, no es algorítmica procedimiento para la determinación de cuando estas son iguales a una secuencia determinada. Eso es debido a que este procedimiento podría decirnos cuando una computable de la secuencia es idénticamente igual a cero, pero tal procedimiento no existe!

Para mí, la importación de estos resultados es que la investigación general de los métodos de producción de formas cerradas para la suma parcial de las expresiones es una causa perdida, y en lugar de eso uno no tiene más remedio que tomar una ad hoc enfoque.

Answer 4

Los primeros cinco de sus ecuaciones que todo ceder ante el hecho de que la suma de un polinomio de grado $n$ es de grado $n+1$. Si recoges %#% puntos de #% habrá un único polinomio de grado $n+2$ o menos pasa a través de ellos. Usted puede encontrar el polinomio de muchos enfoques, interpolación de Newton es uno. La última es distinta. Depende del hecho que $n+1$ y todos los términos excepción la primera cancelación.

Answer 5

Fijo $m$, escribir $$ k^m=a_0\binom{k}{0}+a_1\binom{k}{1}+a_2\binom{k}{2}\dotsb+a_m\binom{k}{m}\etiqueta{1} $$ para algunos $a_i\in\mathbb{R}$. Para encontrar $a_0$, vamos a $k=0$ (1). Después de haber encontrado a $a_0, a_1,\dotsc,a_{j-1}$ observa que
$$ a_j=j^m-a_0-a_1\binom{j}{1}-\dotsb-a_{j-1}\binom{j}{j-1}.\quad (j\geq 1) $$ Que la igualdad en (1) los resultados de nuestra selección de $a_i$ equivale a darse cuenta de que dos polinomios de grado $m$ está de acuerdo en $m+1$ ( $k=0, \dotsc, m$ ) y, por tanto, deben ser iguales. En esencia, hemos expresado un polinomio en $k$ en términos del coeficiente binomial. Ahora recuerdo la identidad $$ \sum_{k=0}^n\binom{k}{j}=\sum_{k=0}^n\left[\binom{k+1}{j+1}-\binom{k}{j+1}\right] =\binom{n+1}{j+1} $$ donde hemos usado la identidad de Pascal y telescópico. Entonces podemos escribir $$ \sum_{k=0}^nk^m=\binom{n+1}{1}a_0+a_1\binom{n+1}{2}+\dotsb+a_m\binom{n+1}{m+1}. $$ por (1) Por ejemplo $$ k=\binom{k}{1}\implica \sum_{k=0}^{n}k=\binom{n+1}{2}=\frac{n(n+1)}{2}. $$ Del mismo modo, $$ k^2=\binom{k}{1}+2\binom{k}{2}\implies\sum_{k=0}^nk^2=\binom{n+1}{2}+2\binom{n+1}{3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$ También $$ k^3=\binom{k}{1}+6\binom{k}{2}+6\binom{k}{3}\implies\sum_{k=0}^nk^3=\binom{n+1}{2}+6\binom{n+1}{3}+6\binom{n+1}{4}=\frac{n^2(n+1)^2}4{} $$ y así sucesivamente, de que la computación parciales de sumas de polinomios es inmediata.