Puzzle de probabilidad acerca de la hora de llegada

Question

Hace poco me vino con un interesante probabilidad de rompecabezas y se preguntó cuál sería la mejor manera de resolverlo. Se va como sigue:

Supongamos que su amigo es llegar en algún momento el lunes, con un uniforme la distribución en todo el día de 24 horas. Cualquiera que sea el tiempo en que llegan dicta cuánto tiempo van a permanecer en su lugar. Por ejemplo:

• Si tu amigo llega exactamente a la medianoche (00:00) el lunes, no van a estar en todo, y simplemente decir "hola" al pasar por.
• Si llegan a la 1:30 am (01:30) se quedarán durante una hora y media, hasta las 3:00 am (03:00).
• Si llegan a las 2:00 pm (14:00) se quedarán durante 14 horas, hasta las 4:00 del día siguiente, el martes.

Si $t$ es un momento en el tiempo, en algún momento entre el comienzo de lunes y la final del martes, żcuál es la probabilidad de que su amigo está en su casa en el momento $t$?

Dijo un poco más formalmente, si $a \in [0, 86400)$ es el tiempo de llegada (en segundos) de su amigo, luego la de veces que va a permanecer en su casa va a ser dado por $[a,2a)$. Así que la pregunta se convierte en:

Dado $t\in[0, 172800)$, ¿cuál es la probabilidad de que su amigo es en su casa en el momento $t$?

Naturalmente, estoy interesado en el método para llegar a una solución más que la real solución en sí misma. También me gustaría saber cómo abordar el problema de si la distribución en $[0,86400)$ era no uniforme, sino que fue dado por algunos específicos de la función de densidad de probabilidad.

Gracias, de antemano.

Answer 1

Este gráfico puede ayudar a visualizar el problema:

El eje horizontal es el de su amigo de la hora de llegada; el eje vertical es un tiempo en el que podrían observar a su amigo en su casa.

Cada punto dentro de toda la región rectangular representa un posible evento en el que su amigo llega en un momento en particular (coordenada horizontal) y la mirada de su amigo en su casa en un momento determinado (coordenada vertical). El área sombreada representa los eventos en los cuales puedes buscar y encontrar a su amigo en su casa.

Mediante la selección de un determinado tiempo de $t$ a que usted mira a ver si tu amigo está en su casa, restringir el espacio de eventos para una línea horizontal a través de la gráfica. La probabilidad de que su amigo está en su casa en el momento $t$ es la probabilidad de que el evento combinado (amigo de llegar a tiempo aleatorio, la observación de que en el momento $t$) cae dentro de la región sombreada a lo largo de esa línea.

Esto le da un tiempo mínimo y máximo de la llegada, que será el resultado de su amigo está en su casa en el momento $t.$ Así que ahora el problema es meramente para determinar la probabilidad de que el tiempo de llegada es dentro de ese intervalo.

Answer 2

¿Sugerencia: Si su amigo está en su casa en tiempo $t \in [0,86400)$ entonces debe haber llegado en algún momento de $[\lceil t/2\rceil,t]$ y la probabilidad de que llegaron a tal intervalo es...?

¿Si $t \in [86400, 172800)$ entonces les deben haber llegado en el intervalo $[\lceil t/2 \rceil , 86400)$ y entonces la probabilidad es...?

¿Ves cómo generalizar a distribuciones arbitrarias?

Answer 3

La introducción de la variable aleatoria de Bernoulli $B_t$ que lee como sigue:

$$B_t = \begin{cases} 0 & \text{if the friend is not at home at time}~t\\ 1 & \text{if the friend is at home at time}~t\\ \end{casos}.$$

En este sentido, $t$ es un parámetro de la variable aleatoria, no una variable aleatoria sí mismo.

La probabilidad de que $B_t = 1$ corresponde a:

$$p_t = p((A < t) \wedge (A > t/2)),$$

donde $A$ (la hora de llegada) es una variable aleatoria. En este caso, ya que se distribuyen de manera uniforme en el conjunto $[0, D]$ donde $D = 86400$, el pdf de $A$ es:

$$f_A(a) = \frac{1}{D}, \forall a \in [0, D].$$

Para encontrar la expresión exacta, debemos considerar los siguientes casos:

1. Si $t < D$, entonces: $$p_t = \int_{t/2}^t f_A(a)da = \int_{t/2}^t \frac{1}{D}da = \frac{t}{2D}.$$
2. Si $t > D$, pero $t/2<D$, entonces: $$p_t = \int_{t/2}^{D} f_A(a)da = \int_{t/2}^{D} \frac{1}{D}da = 1 - \frac{t}{2D}.$$
3. Por supuesto, si $t/2 > D$ (no es posible, ya que el amigo llega el primer día, por cierto), entonces: $$p_t = 0.$$

A grandes rasgos, se puede encontrar la distribución de $B_t$ ($[1-p_t, p_t]$ en el conjunto de $\{0, 1\}$), y no la distribución de $t$!

Para la distribución general de la $A$ (es decir, si $f_A(a)$ tiene otra forma), entonces simplemente resolver las integrales declaró en puntos de $1$ $2$ con el derecho de distribución.