Mi enfoque:
Supongamos que dos de las vocales sea una letra. No así, total. de las letras se convierte en $7$.
Otra vez, las vocales va a cambiar la posición entre ellos mismos. Por lo tanto, total no de permutación donde al menos $2$ vocales son consecutivo $= 7!.3!$
Por último, el no. de permutación donde al menos $2$ de las vocales son consecutivas o, en otras palabras, las vocales son nunca junto $=8!-7!.3!=10080$
Pero la respuesta es $14400$. ¿Por qué estoy mal?
Debe de haber aplicado la Inclusión-Exclusión Principio más que el Complemento del Principio.
Desde las ocho letras de HIJA son distintos, pueden ser dispuestos en $8!$ maneras. A partir de estos, se deben excluir aquellos acuerdos en los cuales un par de vocales es consecutivo.
Un par de vocales consecutivas: Hay $\binom{3}{2}$ formas para elegir a dos de los tres vocales para estar en el par. Si tratamos a la par de vocales como un único objeto, tenemos siete objetos de organizar, a la par de las vocales y los otros seis letras. Puesto que los objetos son distintos, pueden ser dispuestos en $7!$ maneras. Dentro del par de vocales, las vocales pueden ser dispuestos en $2!$ pedidos. Por lo tanto, el número de acuerdos de la HIJA en la que hay un par de vocales consecutivas es $$\binom{3}{2}7!2!$$
Si restamos estos arreglos del total, le han restado demasiado. Por ejemplo, considere el arreglo DAEUGHRT. Nos resta una vez al designar AE como el par de vocales consecutivas y una vez cuando se designa a la UE, ya que el par de vocales consecutivas. Por lo tanto, hemos restado cada arreglo con dos pares de vocales consecutivas (que, en este caso, se refiere a tres vocales) dos veces, una cuando se designa a la primera de dos vocales, ya que el par de vocales consecutivas y una vez al designar los últimos dos vocales, ya que el par de vocales consecutivas. Sólo queremos restar dichos acuerdos una vez, por lo que debemos añadir la espalda.
Dos pares de vocales consecutivas: Esto significa que los tres vocales deben ser consecutivos. Si tratamos el bloque de tres vocales como un único objeto, tenemos seis objetos para organizar. Ya que son distintos, los objetos pueden ser organizados en $6!$ maneras. Dentro del bloque, las vocales pueden ser dispuestos en $3!$ pedidos. Por lo tanto, hay $$\binom{3}{3}6!3!$$ tales arreglos.
Por la Inclusión-Exclusión Principio, hay $$8! - \binom{3}{2}7!2! + \binom{3}{3}6!3!$$ los arreglos de las letras de la palabra HIJA en la que no hay dos vocales consecutivas.
Creo que estás mal porque estás contando cuando obtienes la misma palabra con $3$ las vocales al lado de uno AUE pero al mismo tiempo cuenta la UE como la misma letra mientras que otros con AU como la misma letra doble.
Voy a tratar de forma diferente. Primero elige las 5 consonantes y permutarlos. Hay $5!$ formas de hacer esto. Luego coloque las vocales entre ellos. Hay 6 lugares para ellos hay $6!/3!$ formas de colocarlas. Cantidad total es $5!6!/3!$
Realmente no entiendo lo que has hecho, así que no puedo responder a tu pregunta (¿por Qué estoy equivocado?).
Comenzamos con la búsqueda del número de sumas $n_1+n_2+n_3+n_4=5$ donde $n_1,n_4$ son números enteros no negativos y donde $n_2,n_3$ son enteros positivos. En esta configuración, por ejemplo, $n_1$ denota el número de no-vocales al máximo a la izquierda, $n_2$ denota el número de no-vocal entre la extrema izquierda de la vocal y de la extrema izquierda, excepto una vocal, et cetera. Tenga en cuenta que $5$ se corresponde con el número total de no-vocales.
Que es el mismo que el número de sumas $k_1+k_2+k_3+k_4=3$ cuando la $k_i$ son números enteros no negativos, y con las estrellas y las barras nos encontramos con $\binom{6}3=20$ configuración.
Cada uno de estos ajustes le $3!5!=720$ posibilidades porque hay $3!$ arreglos para las vocales y $5!$ para el no-vocales, así que terminamos con: $$\binom{6}3\times3!5!=20\times720=14400$$
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