Un mapa de un múltiple compacto conectado con no límite a una esfera de la misma dimensión es null homotópicas

Question

En Milnor Y Kervaire los Grupos de Homotopy Esferas de papel, esta afirmación:

Un mapa de un pacto conectado el colector con la no-vacío límite a una esfera de la misma dimensión es nulo homotópica

se realiza sin necesidad de justificación o de referencia. Cualquiera puede ver por qué es esto cierto?

Todo lo que puedo pensar es que el compacto de colectores con el no-vacío límite de tener la parte superior de homología $0$, por lo que este mapa induce $0$ en todos los grupos de homología (excepto el $0$th, por supuesto). Sin embargo, esto no parece ayudar. Es fácil ver que el mapa restringido a los límites null homotópica (ya que no puede ser surjective allí, dicen por Adrs del teorema), pero que también no parece ayudar. Cualquier explicaciones / referencias son apreciados.

Answer 1

La conexión de un compacto liso colector $M$ de la dimensión de $n$ con vacío límite de deformación para un simplicial complejo donde todas las celdas de dimensión en la mayoría de las $n-1$. Ver esta respuesta por Lee Mosher para una prueba. La idea básica, como tengo entendido, es para quitar el límite para obtener una noncompact colector, tomar una triangulación de la resultante del colector y, a continuación, reducir todos los $n$-células de partida "desde el exterior" (como cuando la deformación se retracte de $[0,\infty)$ a $\{0\}$) – esta última parte es la más difícil y la primera versión de mi respuesta fue un poco ingenuo, gracias a Lee Mosher para darme un enlace a la prueba plena.

Y ahora por celular aproximación, un mapa de una simplicial complejo de dimensión $\le n-1$ $S^n$es nullhomotopic, porque se puede considerar un CW-complejo de la estructura en $S^n$ cuando la $(n-1)$-esqueleto es sólo un punto.

(He utilizado una triangulación aquí, no estoy seguro de lo estrictamente necesario... tal vez hay una manera más fácil argumento.)