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Establecer 0xax2+b2dx=πba12cos(πa/2) cuando -1 < a < 1

Mi intento de solución: (esto es una tarea, por cierto)

Dejemos que f(z)=zaz2+b2dz entonces las singularidades de f se producen en ±ib . Res(f;ib)=zaz+ib|ib=(ib)a2ib Res(f;ib)=zazib|ib=(ib)a2ib Sumamos los residuos y los multiplicamos por 2πi para dar el valor de una integral de contorno que contenga los dos polos. 2πi((ib)a2ib(ib)a2ib)=πba1(ia(i)a)=πba1(eπia/2eπia/2)=πba12isin(πia/2) Utilizamos un contorno circular centrado en el origen con el origen recortado (ya que a puede ser negativo)

También hacemos el corte de la rama para xa a lo largo del eje real positivo.

γ=[r,R]

μR=Reiθ , donde 0<θ<2π

κ=[R,r]

μr=reiθ , donde 0<θ<2π

πba12isin(πia/2)=Rrxax2+b2dx+2π0(Reiθ)a(Reiθ)2+b2iReiθdθ+rRxax2+b2dx+02π(reiθ)a(reiθ)2+b2ireiθdθ Como r0 y R tenemos que las integrales segunda y cuarta van a cero. Por lo tanto, πba12isin(πia/2)=20xax2+b2dx0xax2+b2dx=πba1isin(πia/2)2

Entonces, ¿en qué me equivoqué?

2voto

Anthony Shaw Puntos 858

Configuración m=2 en esta respuesta se demuestra que π2csc(πa+12)=0xa1+x2dx Así, 0xab2+x2dx=π2csc(πa+12)b1a=πb1a2cos(πa2)

0voto

user105994 Puntos 11

Mi respuesta corregida (gracias a Daniel Fischer y robjohn):

Utilizamos un contorno circular centrado en el origen con el origen recortado (ya que a puede ser negativo).

(También hacemos el corte de la rama para xa a lo largo del eje real positivo).

γ=[r,R]

μR=Reiθ , donde 0<θ<2π

κ=[R,r]

μr=reiθ , donde 0<θ<2π Γf=Rrxax2+b2dx+2π0(Reiθ)a(Reiθ)2+b2iReiθdθ+rRe2πiaxax2+b2dx+02π(reiθ)a(reiθ)2+b2ireiθdθ Como r0 y R tenemos que las integrales segunda y cuarta van a cero. Por lo tanto,

Γf=(1e2πia)0xax2+b2dx Ahora calculamos los residuos de f se producen en ±ib . Res(f;ib)=zaz+ib|ib=(ib)a2ibRes(f;ib)=zazib|ib=(ib)a2ib Sumamos los residuos y los multiplicamos por 2πi para dar el valor de una integral de contorno que contenga los dos polos. 2πi((ib)a2ib(ib)a2ib)=πba1(ia(i)a)=πba1(eπia/2e3πia/2) Entonces \begin {align*} \int_0 ^{ \infty } \frac {x^a}{x^2 + b^2}dx &= \frac { \pi b^{a-1} (e^{{ \pi i a/2} - e^{3 \pi i a/2}) }{1 - e^{2 \pi i a}} \\ &= \frac { \pi b^{a-1} (e^{- \pi i a/2} - e^{ \pi i a/2}) }{e^{- \pi i a} - e^{ \pi i a}} \\ &= \frac { \pi b^{a-1} \sin ( \pi a/2)}{ \sin ( \pi a)} \\ &= \frac { \pi b^{a-1} \sin ( \pi a/2)}{ \sin ( \pi a)} \\ &= \frac { \pi b^{a-1} \sin ( \pi a/2)}{2 \sin ( \pi a/2) \cos ( \pi a/2)} \\ &= \frac { \pi b^{a-1}}{2 \cos ( \pi a/2)} \\ \end {align*}

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