Mi intento de solución: (esto es una tarea, por cierto)
Dejemos que f(z)=zaz2+b2dz entonces las singularidades de f se producen en ±ib . Res(f;ib)=zaz+ib|ib=(ib)a2ib Res(f;−ib)=zaz−ib|−ib=(−ib)a−2ib Sumamos los residuos y los multiplicamos por 2πi para dar el valor de una integral de contorno que contenga los dos polos. 2πi⋅((ib)a2ib−(−ib)a2ib)=πba−1(ia−(−i)a)=πba−1(eπia/2−e−πia/2)=πba−12isin(πia/2) Utilizamos un contorno circular centrado en el origen con el origen recortado (ya que a puede ser negativo)
También hacemos el corte de la rama para xa a lo largo del eje real positivo.
γ=[r,R]
μR=Reiθ , donde 0<θ<2π
κ=[−R,−r]
μr=reiθ , donde 0<θ<2π
πba−12isin(πia/2)=∫Rrxax2+b2dx+∫2π0(Reiθ)a(Reiθ)2+b2iReiθdθ+∫rR−xax2+b2dx+∫02π(reiθ)a(reiθ)2+b2ireiθdθ Como r→0 y R→∞ tenemos que las integrales segunda y cuarta van a cero. Por lo tanto, πba−12isin(πia/2)=2∫∞0xax2+b2dx⟹∫∞0xax2+b2dx=πba−1isin(πia/2)2
Entonces, ¿en qué me equivoqué?