¿Lo que ' s un ejemplo de una "adición hasta adjunción"?

Question

(Hay varios dialectos de 2 categorías del lenguaje. Es el mío, donde todo lo que es débil por defecto. Usted puede ser que necesite para insertar la palabra "débil" o "pseudo" (o incluso "fuerte", si su valor predeterminado es lax) de aquí y de allí para traducir esto a su propio dialecto.)

La noción usual de la contigüidad entre dos 2-categorías C y D es un par de 2-functors F : C → D y G : D → C, junto con una adecuada naturales de equivalencia entre las categorías Hom_D(FX, Y) y Hom_C(X, GY). Uno podría pedir algo más débil en lugar de una equivalencia, sólo una natural functor f_X,Y : Hom_D(FX, Y) → Hom_C(X, GY) que tiene en sí misma un derecho adjuntos. (En su lugar, podríamos pedir φ_(X,Y tener una izquierda adjunto; esto da una idea diferente para cualquier particular, C y D, pero podemos intercambio de las dos nociones por invertir todos la 2-morfismos en C y D, tan sólo tendremos que elegir esta noción de forma arbitraria.) Esto se llama un "lax 2-contigüidad" en el nlab.

Un simple ejemplo: Si D = • es el final de 2-categoría, luego de una contigüidad C → D es el objeto final de C, mientras que la contigüidad hasta contigüidad es simplemente un objeto Z de C tales que Hom_C(X, Z) tiene un objeto inicial para cada X y estos objetos se conservan por precomposición por f : X → X.

¿Alguien sabe de un más que interesante, natural de ejemplo?

Answer 1

Deje que V y W se cosmoi (bicomplete cerrado monoidal simétrica categorías) y sea F:V→W y G:W→V lax monoidal functors con un monoidal contigüidad F⊣G (por lo tanto, F es fuerte). Entonces F y G inducir 2-functors F_∗: V-Cat → W-Cat y G_∗: W-Cat → V-Cat y lax functors F_∗: V-Prof → W-Profe y G_∗: W-Prof → V-Prof entre los correspondientes bicategories enriquecido categorías y profunctors (= "módulos"). El functor F_∗ simplemente aplica F a todos los hom-objetos de un V-categoría o V-profunctor, y de la misma manera para G_∗.

Ahora para cualquier V-categoría X y W-categoría Y, tenemos un functor f_X,Y: W-Prof(F_∗X,Y) → V-Prof(X,G_∗Y), definida para un W-profunctor M:F_∗X⊗Yº → W en primer lugar la aplicación G_∗ para obtener un V-profunctor M:G_∗F_∗X ⊗ G_∗Yº → V, y luego componer con la unidad η: X → G_∗F_∗X de la contigüidad entre V-Cat y W-Cat. Este functor ha dejado adjunto definido para un V-profunctor N:X⊗G_∗Yº → V en primer lugar la aplicación F_∗ para obtener un formulario W-profunctor N:F_∗X⊗F_∗G_∗Yº → W, y luego a la izquierda Kan se extiende a lo largo de la counit ε:F_∗G_∗Yº → Yº de la contigüidad entre V-Cat y W-Cat. Por lo tanto, los functors F_∗ y G_∗ entre la V-Prof y W-Prof son "lax-2-adjoint".

Yo, personalmente, prefiero la frase de este como un medio más común tipo de contigüidad entre los equipos; de hecho, uno puede mostrar que cualquier contigüidad entre equipos da lugar a una "lax-2-contigüidad" entre sus categorías de proarrows. Pero es un "naturalmente" ejemplo de un "lax-2-contigüidad." (Puse "lax-2-contigüidad" entre comillas porque considero que la terminología no se ha asentado. Tenga en cuenta que "lax-2-adjunctions" también se llama "local adjunctions," por ejemplo, en Betti y Poder", En el local adjointness de distribución bicategories.")

Answer 2

Ver: Adjunción suave entre 2 categorías (John L. MacDonald y Arthur Stone) JPAA 60 (1989) p. 155-203

En p. 168 es un ejemplo clásico con el % 2-categorías $Cat$y $Adj$ de categorías y montajes.

De todos modos este papel es muy teórica, pero dar algunos formulación equivalentes de montajes de generalizated entre las 2 categorías.