¿Es que un producto de módulo dos funciones el módulo del producto de las funciones?

Question

Me gustaría hacer una pregunta simple:

¿Es la verdadera declaración siguiente? ¿Y hay una prueba simple para él? $$|f(x)| \cdot|g(x)| = |f(x)\cdot g(x)| $$

Answer 1

$a\in\Bbb C$, Por definición $\lvert a\rvert=\sqrt{a\overline a}$. Desde entonces, los números reales no negativos $a,b$, la identidad $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ sostiene, puede observarse %#% $ #%

El caso especial donde $$\lvert ab\rvert=\sqrt{ab\overline{ab}}\stackrel{\left(\overline{z\cdot w}=\overline w\cdot\overline z\right)}=\sqrt{ab\overline b\overline a}\stackrel{\left(w\overline w\in[0,\infty)\right)}=\sqrt{a\overline a}\sqrt{b\overline b}=\lvert a\rvert\lvert b\rvert$ tiene los mismo pasos con $a,b\in\Bbb R$ y $a=\overline a$. Una sutileza puede ser el hecho de que, para la mayoría de los libros, $b=\overline b$ es un teorema, en lugar de la definición de $\lvert a\rvert=\sqrt{a^2}$. Hay muy buenas razones para hacer esa elección, pero en principio sólo una cuestión de gusto.

Answer 2

Sí, es cierto.

Por definición (en $\mathbb R$) $$|x| =\begin{cases}x, &x\geq 0\ -x, &x

1

Que $a,b\geq 0$, entonces $$ |ab| =ab = |a||b| $ $

2

No $a\geq 0, b

Answer 3

Sí, $|a|\cdot|b|=|a\cdot b|$ sostiene para todos los números reales. Una prueba es teniendo en cuenta los cuatro casos

• $a\ge 0, \, b\ge 0,$
• $a
• $a\ge 0, \, b
• $a

También sostiene para los números complejos, por cierto.

Answer 4

Utilice el hecho de que $|x| = x\cdot\text{sign}(x)$. Entonces, $$|x||y| = \text{sign}(x)\text{sign}(y)(xy) = \text{sign}(xy)(xy).$ $