¿Por qué es un camino conectado subconjunto de R un intervalo?

Question

Sea A camino conectado. Si A es un subconjunto de $\mathbb{R}$, ¿por qué es un intervalo (si es abierto, cerrado o medio abierto)?

Parece trivial pero que no puedo explicar por qué:

Mi planteamiento fue: Si consideramos dos puntos x, y $\in$ A, entonces existe una función f: A $\rightarrow$ A. Podemos "dibujar un trazado de x al y $\mathbb{R}$ y que tiene que ser un subconjunto de $\mathbb{R}$ y es un subconjunto de A que es un intervalo.

Answer 1

Sugerencia:

Teorema del valor intermedio.

Answer 2

Que $A$ sea un subconjunto abierto de conectados no vacía de $\mathbb{R}$. Supongo que no es un intervalo. Si se trata de un elemento de un conjunto, entonces no hay nada para probar. Por lo tanto, si no es una entidad de un elemento, uno puede encontrar $a$ y $b$ tal que $a,b \in A$ que $\exists c \in ]a,b[$ tal que $c$ no está en $A$. Que $A_1 = ]-\infty, c [ \cap A$ y $A_2 = ]c, +\infty [ \cap A$, por lo que $A$ es la Unión de separados de $A_1$ y $A_2$. Concluir