No es principal ideal $\mathfrak p^i$

Question

Sea c un número entero positivo squarefree. Que $K = \mathbb Q(\sqrt{-c})$. Que $p$ ser un primo que divide en $K$ y $\mathfrak p$ de que un primer ideal por encima del $p$. Tengo que probar lo siguiente:

Demostrar que todos enteros $i\geq 1$ tal que $p^i

Answer 1

Aquí está una sugerencia para empezar.

Supongamos que $\mathfrak p^i = (\alpha)$ algunos $\alpha\in \mathcal O_K$. Luego, tomando normas, $$|N_{K/\mathbb Q}(\alpha)| = N\mathfrak p^i=p^i<\frac{|\mathrm{disc}(K)|}4.$$

Pero sabemos exactamente lo que la norma de un elemento de $K$ parece, y sabemos exactamente lo que el discriminante de $K$ (dependiendo de $c$ modulo $4$).

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Irrelevante comentario:

Aquí es un lindo corolario: tome $c=163$. A continuación, $K$ tiene clase número uno - es decir, de todos los ideales de a $\mathcal O_K$ es la directora. De ello se sigue que no prime menos de $41$ ($|\mathrm{disc}(K)| = \frac{163}4$) se puede dividir en $\mathcal O_K$.

El polinomio mínimo de a$\alpha = \frac{1+\sqrt{-163}}2$$f(X) = X^2-X+41$. El hecho de que cada primer menos de $41$ es inerte en $K$ (sólo $163$ ramifies) muestra que $f$ es irreductible modulo $p$ todos los $p<41$. En particular, $$p\nmid f(n)\quad \forall p<41, n<41,$$ de donde se desprende que el $f(n)$ es primordial para todos los $0\le n<41$ (desde $f(n)<41^2$ es compuesto si tiene un primer factor $<41$). Esto le da un algebraica de números teoría de la justificación de por qué el polinomio $f$ lleva tantos consecutivos prime valores.

Answer 2

Primero vamos a $c\equiv 1 \pmod 4$. Aquí $\frac{\text{disc}(K)}{4}=c$. Supongamos $\mathfrak p^i$ principal es decir $(a+b\sqrt{-c})$. También lo es el otro hombre $(\mathfrak p^i)'=(a-b\sqrt{-c})$ está por encima $p^i$. Entonces la norma de $\mathfrak p^i$ es $$p^i=(a+b\sqrt{-c})(a-b\sqrt{-c})=a^2+cb^2,$$ for $b\neq 0$. So $|b|\geq 1$. So $p^i=a^2+cb^2\geq cb^2\geq c=\frac{|\text{disc}(K)|}{4}$ como sea necesario.

Si $c\equiv 3 \pmod 4$ $\mathfrak p^i$ que es lo principal, entonces podemos calcular la norma de $\mathfrak p^i$ antes: $$p^i =N (\mathfrak p^i)=(a+b\left(\frac{1+\sqrt{-c}}{2}\right))(a+b\left(\frac{1-\sqrt{-c}}{2})\right))=a^2+ab+(\frac{1+c}{4})b^2$$

Como en el anterior, podemos suponer que $|b|\geq 1$ y cambiando el signo de $b$ si es necesario, podemos asumir que $a^2+ab$ es no negativo, por lo que el $a^2+ab+(\frac{1+c}{4})b^2\geq \frac{c+1}{4}\geq \frac{\text{disc}(K)}{4}$ como queríamos.