cambios de ABCDE tiene exactamente 1 letra en su posición original.

Question

La pregunta encontrar el no. de cambios de $ABCDE$ tener exactamente $1$ letra en su posición original.

(Cambio de un conjunto significa cualquier arreglo del conjunto incluyendo su ordenamiento original).

¿Primero tenemos que fijar un elemento (supongo que $A$) y entonces tiene que encontrar todas las vías posibles para arreglar otros elementos de $4$ en las restantes posiciones de $4$?

Answer 1

Tenemos que elegir un elemento, entonces elegir una permutación de los restantes elementos sin puntos fijos (un derangement). Puesto que hay $9$ permutaciones sin puntos fijos en $S_4$ ($3$ elementos con la estructura del ciclo de $(1\,2)(3\,4)$) y $6$ con la estructura del ciclo de $(1\,2\,3\,4)$, la respuesta es $5\cdot 9=45$.

Answer 2

Método Alternativo (Mediante La Inclusión-Exclusión Principio):

Arreglar cualquier carta en su lugar apropiado, y el resto de $4$ tienen que estar dispuestas de tal manera que ninguno está en su lugar adecuado (por lo que se convierten en un trastorno). Desde el fijo de la carta está en su lugar adecuado, podemos pasar por alto. A continuación, el número de alteraciones de la otra $4$ son:

$4! - \binom 4 1 3! + \binom 4 2 2! - \binom 4 3 1! + 0! = 9$

donde hay:

$4!$ total de permutaciones de $4$ letras
$3!$ permutaciones con un (escogido) letra fija, y $\binom 4 3$ formas a elegir de la carta
$2!$ permutaciones con dos (escogido) fija las letras, y $\binom 4 2$ formas para elegir
$1!$ permutación con tres fijos letras, y $\binom 4 3$ formas para elegir
$0!$ permutación con todas las letras fijo

Hay $5$ posible letras (de a $ABCDE$) que puede ser fijo en su lugar apropiado, y $9$ alteraciones de la otra $4$ letras, por lo que el número total de permutaciones con una letra en su lugar adecuado es $5 \times 9 = \boxed{45}$.

Nota: no Hay solapamiento entre las permutaciones con $A$, en su lugar, y el resto de las letras desquiciado, y $B$, en su lugar, y el resto de las letras desquiciado, etc.

Una ventaja de este método es que puede ser fácilmente generalizado a $n$ letras.

Principio de Inclusión y Exclusión:
De $N$ objetos, el número de objetos de $N(\overline A_1 \overline A_2 \ldots \overline A_n)$ que no tiene ninguna de las $n$ propiedades $A_i$ ($i = 1, \ldots, n$), es $$N(\overline A_1 \ldots \overline A_n) = N - N(A_1) - N(A_2) - \cdots - N(A_n) + N(A_1 A_2) + N(A_1 A_3) + \cdots + N(A_{n-1} A_n) - \cdots + (-1)^n N(A_1 A_2 \ldots A_n)$$ donde $N(A_i)$ es el número de objetos con la propiedad $A_i$, $N(A_i A_j)$ es el número de los que tienen dos propiedades de $A_i$$A_j$, etc.