Supongamos que {$a_n$} es la secuencia de Fibonacci y $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Demostrar que {$b_n$} converge al número de oro.

Question

Este es un ejercicio en mi Análisis del libro que me parece difícil. Supongamos que {$a_n$} es la secuencia de Fibonacci, y $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Probar que {$b_n$} converge al Número de Oro.

En primer lugar, por supuesto, uno tiene que probar que {$b_n$} no converge. Creo que desde $a_n$ va en aumento, y $a_{n+1}-a_n>a_n-a_{n-1}$, {$b_n$} está disminuyendo. Ahora ya que tanto el numerador y el denominador son positivos, {$b_n$} está acotado abajo por $0$. Eso significa que {$b_n$} debe converger.

Ahora, ¿cómo probar que {$b_n$} en realidad converge a $\frac{1+\sqrt5}{2}$ no lo sé. Traté de tomar los límites de $b_{n+1}$$b_n$, pero que tienes un problema y que no parecen conducir a ninguna parte.

¿Cómo puedo resolver esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Primero, a partir de la definición de la secuencia ${bn}$: $$b{n+1}=\frac{a{n+2}}{a{n+1}}$ $ ${an}$ es la secuencia de Fibonacci, así $a{n+2}=a_{n+1}+an$, entonces: $$b{n+1}=\frac{a_{n+1}+an}{a{n+1}}=1+\frac{an}{a{n+1}}=1+\frac{1}{b_n}$ $ así, satisface el equence ${bn}$: $$b{n+1}=\frac{b_n+1}{b_n}$ $, si el límite existe, digamos que es $l$, que debe satisfacer la ecuación: %#% $ #% que equivale a : %#% $ #% Ahora para resolver esta ecuación encontramos $$l=\frac{l+1}{l}$, pero la secuencia es limitada por debajo por $$l^2-l-1=0$ y $l=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ $0$ no puede ser $\frac{1-\sqrt{5}}{2}

Answer 2

El uso de la inducción, vamos a probar $$ F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\etiqueta{1} $$ Tenga en cuenta que $F_2F_0-F_1^2=-1$.
Suponga que $F_nF_{n-2}-F_{n-1}^2=(-1)^{n-1}$. Entonces $$ \begin{align} F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2 &=(F_n+F_{n-1})F_{n-1}-F_n^2\\ &=F_{n-1}^2-F_n(F_n-F_{n-1})\\ &=F_{n-1}^2-F_nF_{n-2}\\ &=-(-1)^{n-1}\\ &=(-1)^n\tag{2} \end{align} $$ Por lo tanto, $(1)$ es cierto para $n\ge1$.

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Dividiendo $(1)$ $F_nF_{n-1}$ da $$ \frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n-1}}=\frac{(-1)^n}{F_nF_{n-1}}\etiqueta{3} $$ Desde $F_{n+1}\ge F_n$, $$ \begin{align} \frac{F_{n+2}F_{n+1}}{F_{n+1}F_n} &=\frac{F_{n+2}}{F_n}\\ &=\frac{F_{n+1}}{F_n}+1\\[6pt] &\ge2\tag{4} \end{align} $$ Por lo tanto, para $n\ge1$, $$ F_nF_{n+1}\ge2^{n-1}\etiqueta{5} $$ Por lo tanto, $(3)$ $(5)$ muestran que $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} &=\frac{F_2}{F_1}+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{F_kF_{k-1}}\\ &=1+\sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{F_kF_{k-1}}\tag{6} \end{align} $$ converge.

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La recursividad para $F_n$ implica $$ \begin{align} 0 &=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+2}-F_{n+1}-F_n}{F_n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}\frac{F_{n+1}}{F_n}-\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}-1\\ &=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}\right)^2-\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}-1\tag{7} \end{align} $$ La ecuación de $(7)$ implica que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1\pm\sqrt5}2\etiqueta{8} $$ Desde $\frac{F_{n+1}}{F_n}\ge1$, $(8)$ implica $$ \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt5}2\etiqueta{9} $$