Contraejemplo para Jensen ' desigualdad s

Question

Esto apareció en un examen que tomó.

La pregunta nos da un ejemplo de una función convexa $g: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}$ y una medida $\mu$ $\left(\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R})\right)$ tal que $g\left(\int x \, d\mu(x)\right) > \int g(x)\, d\mu(x)$.

Supongo que un ejemplo puede ser construido por violar el aspecto finito de la medida, pero no tengo ni idea cómo construyo un ejemplo. Supongo que la medida de Lebesgue se puede utilizar, pero estoy teniendo problemas para encontrar una función que es convexa y da este resultado.

Answer 1

Desigualdad de Jensen mantener, necesita $\mu$ una medida de probabilidad (para otras medidas finitos, usted puede obtener una versión graduada). Ver la que no tiene si eliminas esta hipótesis, consideremos por ejemplo (hará casi cualquier ejemplo)

$$\exp\left(\int_0^2 x \, dx\right) = e^2 > \int_0^2 e^x \, dx = e^2 - 1$$

Sin embargo, nosotros podemos cambiar la escala de la medida para obtener una versión modificada de la desigualdad de Jensen. De hecho, desde $\int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^1 2 f(2u) \, du$, obtenemos

$$\exp\left(\int_0^2 x \, dx\right) = \exp\left(\int_0^1 (4u) \, du\right) \le \int_0^1 e^{4u} \, du = \int_0^2 \frac{e^{2x}}{2} \, dx$$