Me pregunto si existe algo similar a la de Bolzano–Weierstrass teorema de secuencias aleatorias. Es decir, vamos a $\{x_n\}$ ser un almacén de secuencia aleatoria. Es cierto que, bajo ciertas condiciones razonables (no puedo ser específico), existe una larga de lo que converge casi seguramente a una constante (no variable aleatoria)?
gracias de antemano.
En general, no. Un estándar contraejemplo es tomar su probabilidad de espacio para ser $\Omega = [0,1]$ con medida de Lebesgue, y considerar el complejo de valores de variables aleatorias $X_n(\omega) = e^{2 \pi i n \omega}$, los cuales son todos delimitada en valor absoluto por 1. Son ortonormales en $L^2(\Omega)$, de modo que por la desigualdad de Bessel, que converge débilmente a 0 en $L^2(\Omega)$. Si una larga converge casi seguramente, a continuación, dominado por la convergencia converge fuertemente en $L^2(\Omega)$, y el límite debe ser el mismo que el débil límite, es decir, 0. Pero todos los $X_n$ ha $L^2$ norma igual a 1, así que esto es absurdo.
Usted puede modificar esto para obtener un valor real contraejemplos, si lo prefiere.
Además, no hay ninguna razón para esperar a ser capaz de obtener un subsequential límite que es constante. Como un ejemplo trivial, vamos a $X$ ser cualquiera que no sea constante variable aleatoria y considerar la secuencia de $(X,X,X,X,\dots)$; cada subsequence converge casi seguramente a $X$.
Si quieres garantizar la convergencia de una larga (que en realidad es una declaración acerca de la compacidad), el enfoque habitual es elegir un modo más débil de la convergencia. Por ejemplo, se desprende de Prohorov del teorema de que un uniformemente acotada secuencia de variables aleatorias tiene una larga convergencia en distribución. Si la probabilidad de que el espacio es el estándar de Borel, el de Banach-Alaoglu teorema garantiza que para cualquier $1 < p < \infty$, tiene una larga convergentes débilmente en $L^p$.
En otra dirección, el teorema de Tychonoff garantiza que la secuencia tiene una subred de la convergencia de todas partes. Esta subred no suele ser larga.
Después de pensarlo algunos, aquí es un resultado en esa dirección que utiliza la metodología de la norma Bolzano-Wierstrass prueba. Acabo de hacer esto, quisiera saber si esto es una consecuencia:
La proposición: Vamos a $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia infinita de variables aleatorias mutuamente independientes que toman valores en un almacén de subconjunto de los reales. Entonces hay una (no aleatoria) constante $c$ de manera tal que, con probabilidad 1, $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ contiene una larga que converge a $c$.
La prueba se basa en la segunda Borel-Cantelli Lema:
Lema: (Segunda Borel-Cantelli) Deje $\{X_1, X_2, \ldots\}$ ser mutuamente independientes variables aleatorias y deje $\{A_1, A_2, \ldots\}$ ser eventos que $\sum_{n=1}^{\infty} Pr[X_n \in A_n] = \infty$. A continuación, con probabilidad 1, $X_n \in A_n$ infinitamente a menudo. (Este es un resultado estándar, así que voy a omitir la prueba)
La prueba de la Proposición: Sin pérdida de generalidad podemos asumir que las variables aleatorias tomar valores en el intervalo acotado $[-M,M]$ para un número positivo $M$. Llame a $[-M,M]$ el intervalo de $I_1$. Picar $[-M,M]$ en dos sub-intervalos de $[-M,0]$$[0,M]$. A continuación, $Pr[X_n\in I_1] = 1$ todos los $n$ y así:
\begin{align} \infty &= \sum_{n=1}^{\infty} Pr[X_n \in I_1] \\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left(Pr\left[X_n \in [-M,0]\right] + Pr\left[X_n \in [0, M]\right]\right)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} Pr\left[X_n \in [-M,0]\right] + \sum_{n=1}^{\infty} Pr\left[X_n \in [0,M]\right] \end{align} Por lo tanto, ya sea a la izquierda o a la derecha sub-intervalo debe tener una infinita suma. Elija la izquierda la mayoría de los sub-intervalo que tiene una infinita suma y llamar a este intervalo de $I_2$. A continuación, $\sum_{n=1}^{\infty} Pr[X_n \in I_2] = \infty$ y por lo tanto, por la segunda Borel-Cantelli lema, sabemos (con prob 1) $X_n \in I_2$ infinitamente a menudo. Ahora picar $I_2$ en dos sub-intervalos de $Left_2$$Right_2$. Entonces: \begin{align} \infty &=\sum_{n=1}^{\infty} Pr[X_n \in I_2] \\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty} Pr[X_n \in Left_2] + \sum_{n=1}^{\infty} Pr[X_n \in Right_2] \end{align} y de nuevo uno de los sub-intervalos debe tener una infinita suma. Elija la izquierda la mayoría de los sub-intervalo que tiene una infinita suma y llamar a esta $I_3$. A continuación,$\sum_{n=1}^{\infty} Pr[X_n \in I_3] = \infty$. Por Borel-Cantelli, con prob 1 $X_n$ debe ser en $I_3$ infinitamente a menudo. Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia de anidado cerrado sub-intervalos de $\{I_1, I_2, I_3, \ldots\}$ que tienen un tamaño que se desvanece a 0. Por lo que el sub-intervalos deben converger a un solo punto de $c$. Tenga en cuenta que no hay nada al azar acerca de los sub-intervalos, o sobre el punto de $c$. Por lo $c$ es un (no aleatoria) constante. Con probabilidad 1, para cada una de las $k$ la secuencia de $\{X_n\}$ es en cada sub-intervalo de $I_k$ infinitamente a menudo. Ahora forman una larga como sigue: Elija $n[1] = 1$. Para cada una de las $k>1$, elija $n[k]$ como el menor índice de $m$ tal que $m>n[k-1]$$X_m \in I_k$. Un sub-secuencia puede ser construido con probabilidad 1. A continuación, $\{X_{n[k]}\}_{k=1}^{\infty}$ converge a $c$.
El Nate Eldredge ejemplo, $(X,X,X, \ldots)$ da un simple contador-por ejemplo, si tratamos de eliminar la independencia de la asunción en la anterior proposición.
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