La probabilidad de Escoger la Misma Contraseña de un $k$ letra del alfabeto

Question

Juan y María, ambos escoger contraseñas al azar de una $k$ letra del alfabeto. Hay hasta el $n$ cartas permitidas en la contraseña. Las repeticiones son permitidos. ¿Cuál es la probabilidad de que se elija la misma contraseña?

Hay $\sum _{i=1}^{n}k^i$ contraseñas posibles, y $\frac{1}{\sum _{i=1}^{n}k^i}$ de probabilidad de escoger cualquier contraseña.

No estoy seguro de cómo establecer el problema desde aquí. Sé que la respuesta es Juan o María elige una contraseña y, a continuación, la probabilidad de que el otro recogiendo la misma contraseña es $\frac{1}{\sum _{i=1}^{n}k^i}$, pero no estoy seguro de por qué. Yo al principio pensé que iba a ser $(\frac{1}{\sum _{i=1}^{n}k^i})^2$

Answer 1

La probabilidad de que ambos elija la primera contraseña es $\left(\frac{1}{\sum _{i=1}^{n}k^i}\right)^2$, la probabilidad de que ambos elija la segunda contraseña es $\left(\frac{1}{\sum _{i=1}^{n}k^i}\right)^2$, etc.

Desde estas son mutuamente excluyentes, se pueden sumar las probabilidades de encontrar la probabilidad general de que elija la misma contraseña. Hay $\sum _{i=1}^{n}k^i$ de los casos con igual probabilidad por lo $$\left(\sum _{i=1}^{n}k^i\right)\left(\frac{1}{\sum _{i=1}^{n}k^i}\right)^2= \frac{1}{\sum _{i=1}^{n}k^i}.$$

Answer 2

Asumo que Juan recoge su contraseña primero. Se ha calculado la probabilidad de que María toma una específica contraseña como $\frac1{\sum k^j}$. Esta es también la probabilidad de que María toma la contraseña específica de Juan pasa a tener recogido.