conjunto borel en un dominio cerrado

Question

Para cualquier $\Omega$ subconjunto de $\mathbb{R}^d$ utilizamos la notación $\mathcal{B}(\Omega)$ para el conjunto de conjuntos de Borel en $\Omega$ . Fijar un dominio abierto $D$ de $\mathbb{R}^d$ . ¿Tenemos $\mathcal{B}(D) = \mathcal{B}(\bar{D})$ ? Aquí $\bar{D}$ es el cierre de $D$ .

Answer 1

No. Deja que $\Omega=(0,2)\cup(2,4)$ y llame a $A=(1,3)$ . Entonces, claramente $A \subset \overline{\Omega} =[0,4]$ Por lo tanto $A \in \mathcal{B}(\overline{\Omega})$ pero incluso $A \not\subset \Omega$ Por lo tanto $A \notin \mathcal{B}(\Omega)$ .

Answer 2

No en general, pues $D\ne \mathbf{R}^d,\varnothing$ . Esto se debe a que $D=\overline{D}$ implica que $D$ es abierto y cerrado, lo que significa que debe ser $\mathbf{R}^d$ o $\varnothing$ , de $\mathbf{R}^d$ conectado.

Con la suposición anterior, tenemos $D\subsetneq \overline{D}$ y por lo tanto $\overline{D}\notin \mathcal{B}(D)$ mientras que $\overline{D}\in\mathcal{B}(\overline{D})$ . Esto se debe a que $\overline{D}$ es cerrado, es decir, de Borel. Entonces, $\mathcal{B}(D)\subsetneq\mathcal{B}(\overline{D}).$

Answer 3

Tenemos $$ \mathcal{B}(D) = \{ D \cap B \;:\; B \in \mathcal{B}(\bar{D})\} . $$