$\int\limits_{0}^{32/9}\sqrt{1+\frac{9x}{4}}dx$

Question

Pregunta : Resolver $\int\limits_{0}^{32/9}\sqrt{1+\frac{9x}{4}}dx$

Mi intento: Sea u = $1+\frac{9x}{4}$

Entonces,

$$du = \frac{9x}{4}dx$$

$$dx = \frac{4du}{9}$$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación principal, obtenemos:

$$\int\limits_{0}^{32/9} \sqrt u \left(\frac{4du}{9}\right)$$

$$\left. \left(\frac{4}{9}\right)\frac{2(u^{3/2})}{3}\right|_{0}^{\frac{32}{9}}$$

$$\frac{4}{9} \frac{2\left(\left(1+\frac{9(32/9)}{4}\right)^{3/2}\right)}{3}$$

$$\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(9^{\frac{3}{2}}\right)$$

\= 8

Pero la respuesta correcta es 7,703...

¿Qué estoy haciendo mal?

EDITAR : Gracias a todos por su ayuda. Por si alguien más tiene este problema este se basa en la respuesta de Oliver.

Answer 1

Realización del cambio de variable $\displaystyle u=1+\frac{9x}{4}$ da $$u(0)=1,\quad u(32/9)=9,\quad du=\frac94dx,\quad dx=\frac49du,\quad$$ entonces sólo tienes $$\begin{align} \int_{0}^{32/9}\sqrt{1+\frac{9x}{4}}dx&=\frac49\int_{1}^{9}\sqrt{u}\:du\\\\ &=\frac49\left[\frac{2}{3}u^{3/2} \right]_1^9\\\\ &=\frac{8}{27}\left(9^{3/2}-1^{3/2} \right)\\\\ &=\frac{208}{27}. \end{align}$$