¿Por qué se define así el anillo de enteros cuadráticos?

Question

Anillo de enteros cuadráticos $\mathcal{O}$ se define por \begin{equation} \mathcal{O}=\begin{cases} \mathbb{Z}[\sqrt{D}] & \text{if}\ D=2,3\ \pmod 4\\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{D}}{2}\right]\ & \text{if}\ D=1\pmod 4 \end{cases} \end{equation} donde $D$ es libre de cuadrados.

Comprendo $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{D}}{2}\right]$ no es cerrado bajo la multiplicación si $D=2,3\pmod 4$ . Pero aún así, ¿no es más natural definir $\mathcal{O}=\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ para todos los cuadrados libres $D$ ? (en ese caso, parece realmente un "entero cuadrático") Me pregunto cuál es la motivación de esta definición.

Answer 1

Nota: esta respuesta ha sido editada para poner el remate primero para que el resto esté más motivado)

El chiste Creo que la definición que te han dado es mala, ya que normalmente se empieza el estudio de los anillos de enteros (cuadráticos o no) con condiciones como " integralmente cerrado Nötherian dominio en el que todo ideal primo es maximal", o "todo ideal es un factor único en ideales primos", o algo más conceptual o basado en propiedades. Después de eso, se suele hacer un trabajo (a menudo muy duro) para determinar la descripción explícita. En tu caso, se te da la descripción explícita (para el caso cuadrático) de entrada, y la falta de simetría -como has observado- puede ser bastante sorprendente, hasta que te das cuenta de que hay una buena razón para ello. En tu caso, el problema es que los conjuntos que sugieres que tienen más sentido no satisfacen esa parte "integralmente cerrada" de la definición, por ejemplo $\Bbb Z[\sqrt{5}]$ es no integralmente cerrado. La razón más probable es que estés en una clase básica en la que todavía no se han enseñado los conceptos relacionados con los anillos de enteros, pero como son un caso tan básico, te están dando algo de práctica sin la motivación (una práctica confusa, pero útil si su objetivo es prepararte para eventualmente estudiar el tema más a fondo).

Dado que el cierre integral se trata de cosas en su campo que satisfacen polinomios mónicos, usted hace algunos cálculos para obtener la descripción que se le dio como definición.

Los cálculos detrás de la definición que se le dio

$$\mathcal{O}_K=\left\{\alpha=a+b\sqrt{D} : a,b\in\Bbb Q, \exists \text{ monic } p(x)\in\Bbb Z[x]\text{ s.t. } p(\alpha)=0\right\}.$$

Observamos que el polinomio mínimo para $a+b\sqrt{D}$ , suponiendo que $b\ne 0$ es sólo

$$p_{\alpha}(x)=x^2-2ax+(a^2-Db^2)$$

porque es mónico, y tiene $a+b\sqrt{D}$ como raíz por inspección (la otra raíz es $a-b\sqrt{D}$ ). Para que esto sea integral, necesitamos $2a\in\Bbb Z$ y $a^2-Db^2\in\Bbb Z$ y nada más.

si $2a=2j+1$ es impar, entonces calculamos

$$a^2-Db^2 = {4j^2+4j+1-4Db^2\over 4}$$

Si $b\in\Bbb Z$ no es un número entero, ya que $4j^2+4j-4Db^2+1\equiv 1\mod 4$ por lo que el numerador no es divisible por el denominador, por lo que debe ser que $2b=2k+1$ por lo que tenemos

$$a^2-Db^2={4(j^2+j-Dk^2-Dk)+1-D\over 4}$$

y para que sea un número entero, es necesario y suficiente que $D\equiv 1\mod 4$ . Vemos entonces que $\mathcal{O}_K$ es el anillo de enteros exactamente como en su definición, ya que en todos los demás casos $a,b\in\Bbb Z$ --recuerda, la única manera $2a\in\Bbb Z$ pero $a\not\in\Bbb Z$ fue en el caso en el que concluimos $2b\in\Bbb Z, b\not\in\Bbb Z$ y $D\equiv 1\mod 4$ .

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Para el estudiante ambicioso

Por qué nos importa el cierre integral

La razón más esencial es que se obtiene el ( generalizado ) teorema fundamental de la aritmética . Sin cierre integral, no se puede garantizar la factorización única porque los ideales primos no son siempre máximos, es decir, sin cierre integral su anillo no es un Dominio de Krull . No podemos tomar cualquier anillo que parezca natural, tenemos que hacer el que las definiciones matemáticas nos lleven. (De nuevo, las definiciones generales, no la muy específica que tienes en este caso).

Answer 2

El anillo de enteros de un campo numérico cuadrático $\,\mathbf Q(\sqrt D)=\bigl\{x+y\sqrt D\mid x, y\in\mathbf Q\bigr\}\enspace $ ( $D$ entero libre de cuadrados) no se define como el subconjunto con $x, y\in\mathbf Z$ pero como el subconjunto de elementos en $\mathbf Q(\sqrt D)$ ) que son integrales sobre $\mathbf Z$ - la cierre integral de $\mathbf Z$ en $\mathbf Q(\sqrt D)$ es decir, los elementos que son raíces de un monic polinomio de grado $2$ con coeficientes enteros.

Este cierre integral es un $\mathbf Z$ -módulo. Mientras que una base de $\mathbf Q(\sqrt D)$ en $\mathbf Q$ es $(1,\sqrt D)$ resulta que es una base del cierre integral sólo si $\,D\equiv 2,3\mod4$ y si $D\equiv 1 \mod 4$ una base es $1,\dfrac{1+\sqrt D}2$ .

Answer 3

La definición es una consecuencia de $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{D})}$ y no al revés. Claramente $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ consiste en números algebraicos, y algunos de ellos son enteros algebraicos. Pero sin saber qué $D$ es que no podemos estar seguros de que haya enteros algebraicos en $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ que son no de la forma $a + b \sqrt{D}$ .

Llegados a este punto, creo que es conveniente repasar la distinción entre números algebraicos y enteros algebraicos. Un número algebraico de grado 2 tiene un polinomio mínimo de la forma $a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ con cada $a_i \in \mathbb{Z}$ . Un entero algebraico de grado 2 tiene un polinomio mínimo de la forma $x^2 + a_1 x + a_0$ o podríamos decir que $a_2 = 1$ .

Obviamente, el polinomio mínimo de $\sqrt{D}$ es $x^2 - D$ . Pero si $D \equiv 1 \pmod 4$ entonces $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{D}}{2}$ tiene un polinomio mínimo de $x^2 - x - \frac{D - 1}{4}$ . Por supuesto $\frac{D - 1}{4}$ no es un número entero si, por ejemplo $D \equiv 3 \pmod 4$ pero en ese caso el polinomio mínimo se convierte en $2x^2 - 2x - \frac{D - 1}{2}$ lo que significa que seguimos teniendo un número algebraico, pero no un entero algebraico. (Puedes resolver lo que ocurre con $D$ individualmente incluso si lo desea).

Este número $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{D}}{2}$ es importante y a veces se designa $\omega$ o, peor aún, $w$ . Pero sugiero que sólo se utilice $\omega$ para el caso $D = -3$ . Aun así, puede resultar útil asignar este número a un solo símbolo, pero hay muchas letras en ambos alfabetos para lograrlo. Digamos que eliges $\theta$ .

Entonces, en lugar de representar los enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ con $D \equiv 1 \pmod 4$ como $\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{D}}{2}$ y tener que preocuparse por $a$ y $b$ teniendo la misma paridad, se pueden reescribir los números como $c + d \theta$ . Una desventaja de esto, en mi opinión, es que en el caso de $D$ negativo es un poco más difícil de entender $\Re(c + d \theta)$ y $\Im(c + d \theta)$ mientras que $\Re\left(\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{D}}{2}\right) = \frac{a}{2}$ y $\Im\left(\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{D}}{2}\right) = \frac{b \sqrt{D}}{2}$ .

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Si se pasa a estudiar dominios algebraicos de mayor grado, hay que estar preparado para los enteros algebraicos que no necesariamente se parecen a $a + b \theta$ . Por ejemplo, $$\frac{1}{3} + \frac{\root 3 \of{19}}{3} + \frac{(\root 3 \of{19})^2}{3}$$ es un entero algebraico en $\mathbb{Q}(\root 3 \of{19})$ como lo ha hecho $x^3 - x^2 - 6x - 12$ para un polinomio mínimo.

Answer 4

Resulta significativo identificar un número entero con una raíz de un polinomio mónico, y la definición cuadrática es un subproducto de ello. Mira las raíces de $x^2-x-1$ Por ejemplo, en la teoría general tiene sentido llamarlos enteros.

El contexto para ello es una comprensión más amplia de las ideas que engloban "noetheriano" y "finitamente generado".

Sin embargo, en el mundo cuadrático sigue habiendo una ambigüedad en lo que se considera una forma cuadrática integral: ¿es una forma que siempre toma valores enteros para entradas enteras o una forma con coeficientes integrales? Los matemáticos y los textos serios tienen opiniones diferentes. Esta no es exactamente su pregunta, pero está estrechamente relacionada.

Answer 5

¿Has estudiado ya las normas? Si $x$ es un número algebraico en un dominio cuadrático dado tal que el coeficiente principal de su polinomio mínimo es 1, entonces su norma en ese dominio es un número entero de $\mathbb{Z}$ y $x$ se llama un número entero algebraico.

Considera estos dos números: $$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}$$ y $$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}.$$ El primero es un número algebraico en $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ este último es un número algebraico en $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ . Ambos son números algebraicos, pero sólo uno de ellos es un entero algebraico. Obsérvese que $$N\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-7}}{2}\right)\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}\right) = 2$$ pero $$N\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right) = -\frac{3}{2}.$$

Deberíamos haberlo visto venir porque $-7 \equiv 1 \pmod 4$ pero $7 \equiv 3 \pmod 4$ . Si $D \not\equiv 1 \pmod 4$ , entonces sólo los números de la forma $a + b\sqrt{D}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$ tienen $N(a + b\sqrt{D}) \in \mathbb{Z}$ . Pero si $D \equiv 1 \pmod 4$ entonces también es posible que los números de la forma $\frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{D}}{2}$ para tener una norma entera, siempre que $a$ y $b$ tienen la misma paridad.

Ningún número de otra forma en $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ puede tener norma entera. Por ejemplo, $$N\left(2 + \frac{\sqrt{-7}}{2}\right) = \left(2 - \frac{\sqrt{-7}}{2}\right)\left( 2 + \frac{\sqrt{-7}}{2}\right) = \frac{23}{4}.$$ He visto pruebas cortas pero densas de esto en un par de libros diferentes.