Convergencia de la integral$\int_0^{\pi/2}\ln(\cos(x))dx$

Question

Quiero demostrar que si la integral $$\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\cos(x))dx$ $ no es ot convergente.

Mi enfoque: Que $y=cos(x)$, entonces la integral anterior se reduce a $$\int\limits_0^{1}\frac{\ln(y)}{\sqrt{1-y^2}}dy.$$ At this step since $\ln(y)

Mi pregunta: (1) es mi verdadero acercamiento? (2) ¿puede sugerir cualquier otra aproximación?

Gracias de antemano...

Answer 1

Muy sorprendentemente, eso integral puede ser computado directamente a través de sumas de Riemann.

De la identidad: %#% $ de #% se deduce que: %#% $ #% por lo tanto, tomando el límite como $$ \prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi k}{n} = \frac{2n}{2^n}\tag{1} $ obtenemos:

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log\sin\frac{\pi k}{n} = -\log 2+\frac{\log(2n)}{n} \tag{2} $$

Mediante la diferenciación bajo el signo integral, también podemos notar que $n\to +\infty$ sólo depende del valor de la función digamma $$\int{0}^{\pi/2}\log\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2} \int{0}^{\pi}\log\sin\theta\,d\theta = -\frac{\pi}{2}\log 2. \tag{3} $ $(3)$ o $\psi(s)=\frac{d}{ds}\log\Gamma(s)$.

Answer 2

Primera nota de que en el intervalo de $(0,\pi/2)$, $0<\cos(x)<1$, por lo $\ln(\cos(x))<0$. Por lo tanto, estamos interesados en la delimitación de la integral desde abajo.

Puesto que, en el intervalo de $[0,\pi/2]$, $\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$, que es negativa, usted sabe que $\cos(x)$ es cóncava hacia abajo. Por lo tanto, en este intervalo, $\cos(x)\geq1-\frac{2}{\pi}x$. Por lo tanto, $$ \int_0^{\pi/2}\ln(\cos(x))dx\geq\int_0^{\pi/2}\ln(1-\frac{2}{\pi}x)dx. $$

El uso de un $u$-sustitución de $1-\frac{2}{\pi}x=u$, tenemos $$ \int_0^{\pi/2}\ln(1-\frac{2}{\pi}x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^1\ln(u)du=\frac{\pi}{2}[u\ln(u)-u]_0^1=-\frac{\pi}{2}. $$

Por lo tanto, la integral converge (y su valor es de entre $0$$\pi/2$).

Answer 3

Tienes la idea correcta. La cuestión es que tienes que ser un poco más claro en la sustitución de y $ln (y) $. Para esto, necesita utilizar la expansión de series de potencias de ln cerca de y = 1 para la y = 1 lado de la integral. Para la y = 0 lado, no se puede utilizar esto, pero puede utilizar la expansión de la serie de potencia del denominador para mostrar la convergencia allí.

Answer 4

Su observación que $\ln (y)

Answer 5

Considerar la serie de Fourier:

$$\ln(\cos(x))=-\ln(2)-\sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^j\cos(2jx)}{j},\,\,\,\,0\le x\lt \frac{\pi}{2}$$

Desde que la serie de fourier son uniformemente convergencia. Así:

$$ \begin{align} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos(x)) \, dx&=\lim_{b\to \frac{\pi}{2}}\int_0^{b} \log(\cos(x)) \, dx\\ &=\lim_{b\to \frac{\pi}{2}}\int_0^{b} (-\ln(2)-\sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^j\cos(2jx)}{j}) \, dx\\ &=\frac{-\pi}{2}\ln(2)+\lim_{b\to \frac{\pi}{2}}(\sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^j\sin(2jx)}{2j^2})]_0^{b}\\ &=\frac{-\pi}{2}\ln(2) \end{align} $$