Cardinalidad de una colección de subconjuntos de R

Question

Supongamos que A es una familia de subconjuntos de R con la propiedad que la intersección de dos conjuntos en A es finito. Mostrar que $|A|\leq 2^{\aleph_0}$.

Me dijo que elegir un contable $D \subset B$ % todo $B \in A$sería útil. Realmente no estoy seguro de dónde ir con esta. ¡Se agradecería cualquier insinuación!

Answer 1

Sugerencia: Demostrar que el conjunto de $[\Bbb R]^{

Answer 2

Aquí es un argumento que es un poco más cercano de la pista. Supongamos que $|A|>2^{\aleph_0}$. $\Bbb R$ tiene solamente $2^{\aleph_0}$ finito subconjuntos, así que sin pérdida de generalidad podemos asumir que todos los miembros de $A$ es infinito. Cada $B\in A$ que $C_B$ sea un subconjunto infinito numerable de $A$. $\Bbb R$ tiene $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ subconjuntos infinito numerable, así que debe haber distinta $B,D\in A$ tal que $C_B=C_D$ y por lo tanto, $B\cap D$ no es finito. De hecho debe haber un infinito numerable $C\subseteq\Bbb R$ tal que

$$|{B\in A:C_B=C}|>2^{\aleph_0}\;.$$