Cardinalidad de una colección de subconjuntos de R

Question

Supongamos que A es una familia de subconjuntos de R con la propiedad de que la intersección de cualquier par de conjuntos en A es finita. Muestre que $|A|\leq 2^{\aleph_0}$.

Me dijeron que elegir un conjunto numerable $D \subset B$ para todo $B \in A$ sería útil. Realmente no estoy seguro de qué hacer con esto. ¡Cualquier pista sería apreciada!

Answer 1

Pista: Demuestra que el conjunto $[\Bbb R]^{<\omega}$, el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\Bbb R$, tiene tamaño $2^{\aleph_0}$. Fija $C_0\in A$, luego demuestra que para cada $C\in [\Bbb R]^{<\omega}$, el conjunto $A_C:=\{B\in A:B\cap C_0=C \}$ tiene tamaño $\leq2^{\aleph_0}$. Nota que $\{A_C:C\in [\Bbb R]^{<\omega}\}$ es una partición de $A-\{C_0\}$, y por lo tanto $|A|\leq 2^{\aleph_0}$.

Answer 2

Aquí hay un argumento que está un poco más cerca de la pista. Supongamos que $|A|>2^{\aleph_0}$. $\Bbb R$ tiene solo $2^{\aleph_0}$ subconjuntos finitos, así que sin pérdida de generalidad podemos suponer que cada miembro de $A$ es infinito. Para cada $B\in A$ sea $C_B$ un subconjunto contable infinito de $A$. $\Bbb R$ tiene $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ subconjuntos contables infinitos, así que debe haber $B,D$ distintos en $A$ tal que $C_B=C_D$ y por lo tanto $B\cap D$ no es finito. De hecho, debe haber algún conjunto contable infinito $C\subseteq\Bbb R$ tal que

$$|\{B\in A:C_B=C\}|>2^{\aleph_0}\;.$$