¿Por qué isn ' t este libre producto de grupos abelian?

Question

Estoy tratando de demostrar que el grupo $A=A_1*A_2$ donde $A_1, A_2\neq 1$ no es abelian. Siguiendo las indicaciones a continuación:

Deje $x,y\in A_1*A_2$ donde $x\neq y$.

Supongamos ahora $A_1=F(S)$ $A_2=F(T)$ donde $S=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ $T=\{\beta_1,\ldots\beta_m\}$

Deje $x,y\in A_1*A_2$ donde $x\neq y$, luego tenemos las palabras

$x=\alpha_1^{n_1}\ldots\alpha_k^{n_k}$ $y=\beta_1^{m_1}\ldots\beta_l^{m_l}$

Así que usando la definición de la operación de los productos de regalo, tenemos

$x\cdot y=\alpha_1^{n_1}\ldots\alpha_k^{n_k}\beta_1^{m_1}\ldots\beta_l^{m_l}$

$y\cdot x=\beta_1^{m_1}\ldots\beta_l^{m_l}\alpha_1^{n_1}\ldots\alpha_k^{n_k}$

¿Estoy correcto?

No se puede continuar desde ese punto, puesto que $k$ $l$ puede ser diferente.

Gracias

Answer 1

He podido encontrar una pista para esta pregunta así que debe ser verificada independientemente.

Si $a\in A$ y $b\in B$ son los elementos no triviales en $A*B$, $aba^{-1}b^{-1}$ tiene orden infinito y así que el grupo anterior es un infinito grupo de centerless $^1$.

$1$. Una introducción a la teoría de los grupos de J.J.Rotman.

Si esta pista es útil para allanar el camino de cualquier respuesta, la borraré. :)