Teorema de límite central para las raíces cuadradas de sumas de variables aleatorias de i.i.d.

Question

Intrigado por una cuestión matemática.stackexchange, y a investigar empíricamente, me preguntaba sobre la siguiente declaración sobre la raíz cuadrada de la suma de i.yo.d. variables aleatorias.

Supongamos $X_1, X_2, \ldots, X_n$ son yo.yo.d. variables aleatorias con finito media distinta de cero $\mu$ y la varianza $\sigma^2$, e $\displaystyle Y=\sum_{i=1}^n X_i$. El teorema del límite central dice $\displaystyle \dfrac{Y - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$ aumenta.

Si $Z=\sqrt{|Y|}$, puedo decir también algo como $\displaystyle \dfrac{Z - \sqrt{n |\mu|-\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}{\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$ aumenta?

Por ejemplo, supongamos que el $X_i$ son de Bernoulli con una media de $p$ y la varianza $p(1-p)$, $Y$ es binomial y me puede simular esto en R, es decir con $p=\frac13$:

set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))

lo que da aproximadamente el esperado para la media y la varianza para el $Z$

> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667

y una Q-Q plot que se ve cerca de Gauss

qqnorm(Z)

Answer 1

La convergencia a una Gaussiana es de hecho un fenómeno general.

Supongamos que $X_1,X_2,X_3,...$ son IID variables aleatorias con media de $\mu\gt 0$ y la varianza $\sigma^2$, y definir las sumas $Y_n=\sum_{i=1}^n X_i$. Fijar un número $\alpha$. La costumbre Teorema Central del Límite nos dice que $P(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha)\to\Phi(\alpha)$ $n\to\infty$ donde $\Phi$ es el estándar normal de la cdf. Sin embargo, la continuidad de la limitación de cdf implica que también tenemos $$P\Big(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha+\frac{\alpha^2 \sigma^2}{4\mu\sigma\sqrt n}\Big)\to\Phi(\alpha)$$ because the additional term on the right hand side of the inequality tends to zero. Rearranging this expression leads to $$P\Big(Y_n\leq (\frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu})^2\Big)\to\Phi(\alpha)$$

Tomando raíces cuadradas, y observando que $\mu\gt 0$ implica que el $P(Y_n\lt 0)\to 0$, obtenemos $$P\Big(\sqrt{|Y_n|}\leq \frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu}\Big)\to\Phi(\alpha)$$ In other words, $\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$. This result demonstrates convergence to a Gaussian in the limit as $n\to\infty$.

¿Significa esto que la $\sqrt{n\mu}$ es una buena aproximación a $E[\sqrt{|Y_n|}]$ grandes $n$? Así, podemos hacer algo mejor que esto. Como @Henry notas, suponiendo que todo lo que es positivo, podemos utilizar $E[\sqrt{Y_n}]=\sqrt{E[Y_n]-\text{Var}(\sqrt{Y_n})}$, junto con $E[Y_n]=n\mu$ y la aproximación a $\text{Var}(\sqrt{Y_n})\approx \frac{\sigma^2}{4\mu}$, para obtener la mejora de la aproximación $E[\sqrt{|Y_n|}]\approx\sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$ como se indicó en la pregunta anterior. Tenga en cuenta también que todavía tenemos $$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$$ because $\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}-\sqrt{n\mu}\to 0$ as $n\to\infty$.