Representaciones de un carcaj y poleas en P ^ 1

Question

Sabemos de Beilinson que hay una equivalencia de categorías derivadas

$D^b Rep(Q) \simeq D^b Coh(\mathbb{P}^1)$

donde la lefthandside es la categoría derivada de complejos acotados de las representaciones de la aljaba de Kronecker

$ => $

y la righthandside es la categoría derivada de complejos acotados de haces coherentes en el espacio proyectivo.

Mi pregunta es:

Hay una prueba que

$Rep(Q) \not \simeq Coh(\mathbb{P}^1)$

¿como categorías abelian?

Answer 1

Sí: como una categoría de módulo, $\text{Rep}(Q)$ tiene bastantes projectives, mientras que $\text{Coh}({\mathbb P}^1)$ no tiene ningún distinto de cero objetos proyectivo en todo: dualidad de Serre tenemos $\text{Ext}^1{\text{Coh}({\mathbb P}^1)}({\mathscr F},{\mathscr G})\cong\text{Hom}{\text{Coh}({\mathbb P}^1)}({\mathscr G}(2),{\mathscr F})^{\ast},$ que si ${\mathscr F}$ es proyectivo, entonces $\text{Hom}(-,{\mathscr F})\equiv 0$, por lo tanto, ${\mathscr F}=0$ $\text{id}_{\mathscr F}\in\text{Hom}({\mathscr F},{\mathscr F})$ teniendo en cuenta.

Answer 2

Razón de Hanno es probablemente el canónico, pero una razón discutible más elemental es que $\text{Rep}(Q)$ tiene solamente dos objetos simples hasta isomorfismo, pero $\text{Coh}({\mathbb P}^1)$ tiene infinitamente muchos objetos simples, las poleas de rascacielos en los puntos de ${\mathbb P}^1$.

O alternativamente, $\text{Rep}(Q)$ es una categoría de artinian, pero no es $\text{Coh}({\mathbb P}^1)$.