Cómo evaluar la suma $\sum_{k = 0}^{n}2^k {{n}\choose {k}}$

Question

¿Cómo evalúo la suma: $$\sum_{k = 0}^{n}2^k {{n}\choose {k}}$$ Sé que $2^k = {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + {n \choose 3}... {n \choose k}$ pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Se sabe que:

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k}$$

Para $x=2 \text{ and }y=1$ : $3^n=\sum_{k=0}^n 2^k \binom{n}{k} $

Answer 2

Pista: $$ (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k $$