Grupos de orden más $5$

Question

Este fue un ejercicio dado por un maestro en una clase; sabía que su respuesta en otras primaria así como con la avanzada de teoremas. Pero, mi pregunta es la manera en que el ejercicio contrario y se espera algo. El ejercicio es el siguiente:

Deje $a,b$ ser no-desplazamientos de los elementos de un grupo. Entonces (1) mostrar que $1,a,b,ab,ba$ son distintos. (2) a la Conclusión de que los grupos de fin de a a $5$ son abelian.

Mi pregunta es cómo (1) implica (2)? [Sé cómo demostrar (1).]

La declaración (1) implica que los grupos de orden en la mayoría de las $4$ son abelian; pero puede implicar que el grupo de orden $5$ puede ser no-abelian (sé que este no es el caso!)

Hay un pequeño truco para concluir (2) de (1)?

Answer 1

Si $1,a,b,ab,ba$ son todos los elementos del grupo, considere la posibilidad de $x\mapsto ax$: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & a & b & ab & ba \\ ax & a & ? & ab & ? & ? \\ \end{array} $$ El punto clave es que la fila inferior debe ser una permutación de la fila superior.

Considere la posibilidad de $a^2$:

• $a^2$ no puede ser $a$ porque $a\ne1$ (e $a$ ya está en la fila inferior).

• $a^2$ no puede ser $b$ porque $a$ viajes con $a^2$, pero no con $b$.

• $a^2$ no puede ser $ab$ o $ba$ porque $a\ne b$.

Por eso,$a^2=1$$a\cdot ab=a^2b=b$, dejando $$ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & a & b & ab & ba \\ ax & a & 1 & ab & b & ? \\ \end{array} $$

Por lo tanto, $a\cdot ba=ba$, lo que no puede suceder porque $a\ne1$.