Esta pregunta es muy similar a este, pero la diferencia es que yo estoy pidiendo una fuerte deformación de retracción.
La notación/Definiciones: (todos los mapas son, por definición, continuo) Un homotopy entre los mapas de $f,g\!:X\rightarrow Y$ es un mapa $H(x,t)\equiv H_t(x):X\!\times\!I\rightarrow Y$, $H_0\!=\!f$, $H_1\!=\!g$; denotado $H\!:\!f\!\simeq\!g$. Para $A\!\subseteq\!X$, $f|_A\!=\!g|_A$, un homotopy relativa a $A$ es un homotopy $H\!:\!f\!\simeq\!g$, $\forall t\!:H_t|_A\!=\!f|_A\!=\!g|_A$; denotado $H\!:\!f\!\simeq\!g \,(\mathrm{rel}\,A)$. Espacios de $X$ $Y$ son homotopy equivalente, denotado $X\!\simeq\!Y$, si hay un $f\!:X\rightarrow Y$$g\!:Y\rightarrow X$, de tal manera que $f\circ g\simeq id_Y$$g\circ f\simeq id_X$; a continuación, $f$ es un homotopy de equivalencia y $g$ es su homotopy inversa. Una deformación de retracción de $X$ a $A\!\subseteq\!X$, denotado $H\!:X\searrow A$ $H\!:id_X\!\simeq\!r$ donde $r\!:X\rightarrow X$ es una retracción, es decir,$r(X)\!=\!A$, $r|_A\!=\!id_A$. Una fuerte deformación de retracción de $X$ a $A\!\subseteq\!X$, denotado $H\!:X\searrow\searrow A$ $H\!:id_X\!\simeq\!r\,(\mathrm{rel}\,A)$ donde $r$ es una retracción.
Además, $H^-$ denota la inversa homotopy, es decir, $H(x,1-t)$ $H\ast H'$ denota el producto homotopy, es decir, $H(x,2t)$ $0\leq t\leq1/2$ $H'(x,2t-1)$ $1/2\leq t\leq1$ (bajo la condición de que $H_1=H'_0$, es decir, "la endfunctions partido"), que se lee de izquierda a derecha (contrario a la composición de mapas). Por último, $\big(\! \begin{smallmatrix} \scriptstyle x&\!\scriptstyle \mapsto \! &\scriptstyle f(x)\\ \scriptstyle y&\!\scriptstyle \mapsto \! &\scriptstyle g(y) \end{smallmatrix}\!\big)$ simplemente denota una asignación, que se define en dos espacios.
La proposición: $X\!\simeq\!Y$ $\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;$ $\exists Z\supseteq X,Y:$ $\;X\swarrow Z\searrow Y$
Prueba: $(\Leftarrow):$ Si $r\!:Z\rightarrow X$ es una retracción, $i\!:X\hookrightarrow Z$ la inclusión, y $r\!\simeq\!id_Z$,$r\circ i\!=\!id_X$$i\circ r\!\simeq\!id_Z$, lo $Z\!\simeq\!X$. Del mismo modo $Z\!\simeq\!Y$, y por transitividad, $X\!\simeq Y$.
$(\Rightarrow):$ Deje $f\!:X\!\rightarrow\!Y$ ser el homotopy equivalencia con homotopy inverso $g$ y definen $Z\!:=\!Z_f\!=\!(X\!\times\!I)\coprod Y/_{(x,0)\sim f(x)}$, la asignación de cilindro de $f$.
Claramente
$$\left(\! \begin{matrix}
(x,s,t)&\!\!\!\! \mapsto \!\!\!\! & (x,s(1-t))\\
(y,t) &\!\!\!\! \mapsto \!\!\!\! & y
\end{de la matriz}\!\right:Z_f\searrow\searrow Y.$$
Deje $\widetilde{H}\!\!:f\!\circ\!g\!\simeq\!id_Y$$\widehat{H}\!\!:g\!\circ\!f\!\simeq\!id_X$. A continuación, defina $r\!:Z_f\!\rightarrow\!Z_f$, $r\!:=\!
\big(\! \begin{smallmatrix}
\scriptstyle(x,s)&\!\scriptstyle \mapsto \! &\scriptstyle(\widehat{H}(x,s),1)\\
\scriptstyle y &\!\scriptstyle \mapsto \! &\scriptstyle (g(y),1)
\end{smallmatrix}\!\big)$.
Vemos que $r$ está bien definido (respeta $(x,0)=f(x)$), $r(Z_f)\!=\!X\!\times\!\{1\}$, $r|_{X\!\times\!\{1\}}\!=\!id_{X\!\times\!\{1\}}$, lo que hace que $r$ la retracción de$Z_f$$Y$. Finalmente, se construye un homotopy
$$H\!:=\!
\big(\! \begin{smallmatrix}
(x,s,t)&\! \mapsto \! &(x,s(1-t))\\
(y,t) &\! \mapsto \! & y
\end{smallmatrix}\!\grande)
\ast
\big(\! \begin{smallmatrix}
(x,s,t)&\! \mapsto \! & \widetilde{H}^-(f(x),t)\\
(y,t) &\! \mapsto \! & \widetilde{H}^-(y,t)
\end{smallmatrix}\!\grande)
\ast
\big(\! \begin{smallmatrix}
(x,s,t)&\! \mapsto \! &(\widehat{H}(x,st),t)\\
(y,t) &\!\mapsto \! &(g(y),t)
\end{smallmatrix}\!\grande)
:id_{Z_f}\!\simeq\!r.$$
Observe que cada una de las tres homotopies está bien definido en $Z_f$ (respectos $(x,0)=f(x)$) y "sus endfunctions partido", por lo $H$ está bien definido. Por lo tanto $H\!\!:Z_f\,\searrow\,X\!\times\!\{1\}\!\approx\!X$. $\blacksquare$
Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar: $X\!\simeq\!Y$ $\;\;\;\Rightarrow\;\;\;$ $\exists Z\supseteq X,Y:$ $\;X\swarrow\swarrow Z\searrow\searrow Y$?
Comentario: yo estaba realmente con la esperanza de que es posible cambiar esta prueba con el fin de obtener un homotopy $H$ que no mueve los puntos de $X\times\{1\}$, es decir, reciben una fuerte deformación de retracción.
Solicitud: por Favor, no avanzada respuestas, ya que estoy empezando a aprender la Topología Algebraica. Yo no conozco a ninguna obstrucción de la teoría/(co)fibrations/...
