¿Una integral elíptica no convencional?

Question

Hace poco me encontré con la siguiente integral: $$I = \int_a^b d \lambda \sqrt{(\lambda^2-a^2)(b^2 - \lambda^2)}$$ El autor del artículo afirma que esta integral puede transformarse en una integral elíptica, dando la respuesta: $$I = b [(a^2 + b^2) E(k) - 2a^2 K(k)] \quad k^2 = \frac{b^2 - a^2}{b^2}$$ Traté de manipular $I$ en una de las integrales elípticas estándar, pero no pude hacerlo bien. La forma más prometedora que he obtenido es a través de la sustitución $$\lambda = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \sin \theta$$ Lo que da la integral: $$I = \sqrt{\frac{a^2 +b^2}{2}} \int d \theta \, \cos \theta \sqrt{\left(\frac{a^2-b^2} 2 \right)^2 - \left(\frac{a^2+b^2} 2\right)^2 \cos^4 \theta }$$ ¿Estoy en el camino correcto? ¿Hay algún buen truco para evaluar esta integral?

Answer 1

Tienes una errata en tu expresión, a tu expresión le falta un factor global $\frac13$ .
Puedes comprobarlo comparando la integral y la expresión que tienes en $a \to 0$ y $b = 1$ .
En ese límite, $I \to \frac13$ mientras su expresión $$b ((a^2 + b^2) E(k) - 2a^2 K(k))\quad\to\quad 1((0^2+1^2)\times 1 - 2\times 0 ) = 1$$

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Dejemos que $c^2 = b^2 - a^2$ y $\displaystyle\;k = \frac{c}{b}$ . Cambiar la variable a

$$u = \frac1c \sqrt{b^2 - \lambda^2} \quad\iff\quad \lambda = \sqrt{b^2 - c^2u^2} = b\sqrt{1-k^2u^2}$$

Aviso $$\lambda^2 - a^2 = (b^2 - a^2) - (b^2 - \lambda^2) = c^2(1-u^2) \quad\text{ and }\quad d\lambda = -\frac{bk^2u du}{\sqrt{1-k^2u^2}}$$ La integral en cuestión es igual a

$$I = \int_1^0 c^2u\sqrt{1-u^2}\left(-\frac{bk^2u du}{\sqrt{1-k^2u^2}}\right) = b^3k^4\int_0^1 \frac{u^2(1-u^2)}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}du$$ Para evaluar esta integral, se puede utilizar el hecho (¿truco?)

$$\frac{d}{du}\left[u\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}\right] = \frac{1 - 2u^2 + k^2u^2 - 3k^2u^2(1-u^2)}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}$$ y $u\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}$ se desvanece en $u = 0$ y $1$ . Con esto, se puede transformar la integral en

$$I = \frac{b^3k^2}{3}\int_0^1\frac{1 - 2u^2 + k^2u^2}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}} du$$

Aviso $$1 - 2u^2 + k^2u^2 = 1 + (k^2-2)\frac{1 - (1-k^2u^2)}{k^2} = \frac{1}{k^2}\left((2-k^2)(1-k^2u^2) - (2-2k^2)\right)$$ Podemos simplificar la integral a

$$\begin{align} I = &\frac{b^3}{3}\left[(2-k^2)\int_0^1\sqrt{\frac{1-k^2u^2}{1-u^2}}du - (2-2k^2)\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}du\right]\\ = & \frac{b^3}{3}\left[(2-k^2)E(k) - (2-2k^2)K(k)\right]\\ = & \frac{b}{3}\left[(b^2+a^2)E(k) - 2a^2K(k)\right] \end{align}$$ Hasta un factor $\frac13$ Esta es la expresión que tienes.