Identidad factorial $n!=1+(1-1/1!)n+(1-1/1!+1/2!)n(n-1)+\cdots$

Question

Mostrar que $\displaystyle{n!=1+\left(1-\frac1{1!}\right)n+\left(1-\frac1{1!}+\frac1{2!}\right)n(n-1)+\cdots}$. No puedo averiguar cómo esto se puede solucionar. Intenté utilizar el teorema del binomio, pero no podía demostrarlo. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Si se divide por $n!$ entonces la identidad solicitada es $$1=\sum{k=0}^n\frac1{k!}\sum{j=0}^{n-k}\frac{(-1)^j}{j!},$ $ tal vez mejor por escrito utilizando el soporte de Iverson como $$1=\sum_{j,k}\frac{(-1)^j}{j!k!}\bigl[j\ge0,k\ge0,j+k\le n\bigr].$ $ (el soporte toma el valor $1$ si la declaración sostiene, y $0$ lo contrario.)

Observe eso $$ \sum_ {j, k} \frac {(-1) ^ j} {j ¡k!} \bigl[j\ge0,k\ge0,j+k=m\bigr] =\begin{cases}\dfrac{(1-1)^m}{m!}=0&m\ge1,\1&m=0\end{casos} $$ ahora suma esta $m\in{0,1,\ldots,n}$ para obtener el resultado deseado.

Answer 2

Suponiendo que la suma se supone que para terminar después de $n$ términos, su suma es:

$$ \frac{n!}{n!} \sum_{k=1}^{n+1} \sum_{m=1}^k \frac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!}\prod_{i=0}^{k-2} (n-r) $$

$$ =n!\sum_{k=1}^{n+1} \sum_{m=1}^k \frac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!} \frac{\prod_{i=0}^{k-2} (n-r)}{n!} $$

$$ =n!\sum_{k=1}^{n+1} \sum_{m=1}^k \frac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!(n+1-k)!} $$

$$ =n!\sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \frac{(-1)^{m}}{m!(n-k)!} $$

$$ =n!\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(n-k)!} \sum_{m=0}^{k} \frac{(-1)^{m}}{m.} $$

$$ =\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}{\Gamma(k+1,-1)} $$ Pero ya estoy solo citar la función Gamma incompleta que es, básicamente, la reescritura de la suma, yo no puedo mostrar esto es $n!$.

Answer 3

Aquí es un argumento combinatorio. La reescritura de la suma como este $$0!\veces 1 \color{#F00}{+} 1! (1-1/1!) n/1! \color{#F00}{+} 2! (1-1/1!+1/2!) n(n-1)/2! \\\color{#F00}{+} 3! (1-1/1!+1/2!-1/3!) n(n-1)(n-2)/3!+\ldots$$ Dos observaciones: primero el término $$q! \times (1-1/1!+1/2!-1/3!+\cdots\pm 1/q!)$$ cuenta las alteraciones en permutaciones de $q$ elementos y segundo el plazo $n(n-1)\cdots(n-q)/q!$ ${n\choose q} = {n\choose n-q}$ dice que elija $n-q$ elementos de $n$ elementos.

Por lo tanto, la suma es una clasificación de conjunto de las permutaciones por el número de puntos fijos: elija $n-q$ puntos fijos y se combinan con una alteración en $q$ elementos. Hay $n!$ permutaciones sin embargo. Hecho.