Para ampliar la respuesta de qbert, una "ecuación diferencial" (de primer orden) suele definirse como una ecuación algebraica en $x$ , $y$ , $dx$ y $dy$ formalmente equivalente a $P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ para algunas funciones continuas $P$ y $Q$ definida en alguna región del plano $R$ . Algunos ejemplos son $$ \frac{dy}{dx} = y;\quad x\, dx + y\, dy = 0;\qquad \frac{y\, dx - x\, dy}{x^{2} + y^{2}} = 0. $$ La "solución" (general) es una función continuamente diferenciable $F$ definido en $R$ para las que las curvas de nivel $F(x, y) = C$ "satisfacen la ecuación diferencial" en el sentido de que la diferenciación implícita de $F(x, y) = C$ se obtiene una condición formalmente equivalente a $P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ . Las soluciones a los tres ejemplos anteriores podrían ser las siguientes $$ ye^{-x} = C;\qquad x^{2} + y^{2} = C;\qquad \frac{y}{x} = C. $$
Notas :
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El término "identidad algebraica" se refiere a la ausencia de $dx$ y $dy$ es decir, "algebraico" contrasta con "diferencial", no (digamos) con "trascendental".
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La función $F$ en una solución está lejos de ser única: Si $g$ es cualquier función estrictamente monótona de una variable, por ejemplo, entonces $(g \circ F)(x, y) = C$ es otra forma de expresar las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. Así, $$ \log(1 + x^{2} + y^{2}) = C;\qquad e^{-(x^{2} + y^{2})} = C; $$ son otras dos formas de expresar $x^{2} + y^{2} = C$ . (Por supuesto, el significado de $C$ no es el mismo en estas tres representaciones).
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"Basta con convertir una ecuación diferencial en su forma de ecuación algebraica" hace que el proceso parezca algorítmico, incluso trivial, lo que generalmente no lo es. :)
