¿La retirada de la geometría diferencial también es una atracción en el sentido de la teoría de la categoría?

Question

Yo creo que la retirada de la geometría diferencial es también un retroceso en el sentido de la categoría de la teoría, sin embargo, me hizo tener algunos problemas completamente justificar este pensamiento. Es que yo tengo:

Vamos a considerar un campo de vectores $\eta : Y \rightarrow T(Y)$ y un diffeomorphism $f: X \rightarrow Y$. Luego de la geometría diferencial el retroceso puede ser escrita como, $$ f^*(\eta)(x) = Tf^{-1}\circ \eta \circ f(x).$$

Por lo tanto el diagrama conmutativo se convierte en:

Ahora desde $Tf^{-1}$ es invertible, podemos usar $Tf$ escribir conmutativo el diagrama como un producto de fibra. A partir de la categoría de la teoría de que podamos completar el diagrama del campo de vectores $\eta: Y \rightarrow T(Y)$ y la tangente mapa de $Tf: T(X)\rightarrow T(Y)$ obtener

Ahora, debido a la singularidad del producto de fibra hasta el isomorfismo vemos que $Y \times_{T(Y)} T(X)$ es igual a $X$ . También se $\eta^*(Tf)$ debe ser igual a $f$ (hasta el isomorfismo). Pero, a continuación, $f^*\eta$ debe ser igual a $Tf^*\eta$, sin embargo la notación $f^*\eta$ no tiene mucho sentido para mí, es sólo un corto de la mano? Si este no es el caso, alguien puede darme un poco más de información acerca de $ f^*\eta$ en la perspectiva de la categoría de la teoría?

Gracias de antemano.

Answer 1

La forma correcta de pensar acerca de esto es que la respuesta a tu pregunta es no. Es posible escribir la retirada de un campo vectorial a lo largo de un diffeomorphism como un retroceso en el sentido de la categoría de la teoría, pero esto es básicamente una coincidencia y no es normalmente una forma útil para entender los conceptos.

La palabra "retirada" se utiliza muy ampliamente para describir, bien, tirando las cosas de nuevo. En otras palabras, cuando se tiene un mapa de $f:X\to Y$, y no es una forma natural para activar algún tipo de estructura en $Y$ en una estructura en $X$, se puede describir como un "retroceso". Pullbacks en el sentido de la categoría de la teoría son un ejemplo de tal cosa (donde la estructura en $Y$ es un mapa de algún objeto a $Y$), y pullbacks de campos vectoriales son otro (donde la estructura en $Y$ es un campo de vectores; en particular, sin embargo, sólo se puede realizar un pullback si $f$ es un abierto de inmersión).