¿Cómo calcular la altura de una red hcp?

Question

Un empaquetamiento cerrado hexagonal (hcp) tiene una celda unitaria de tipo ABAB. Para calcular la fracción de empaquetamiento necesitamos el volumen de la celda unitaria.

Volumen de la red hcp = (Área de la base) $\cdot$ (Altura de la celda unitaria)
Cada hexágono tiene un lado = $2\cdot r$
Área de la base = $6$ (Área de los pequeños triángulos equiláteros que componen el hexágono)
$$=6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\times(2r)^2$$ $$=6 \cdot \sqrt{3} \cdot r^2$$

Por lo tanto, el volumen $= 6 \cdot \sqrt{3} \cdot r^2 $ (Altura de la celda unitaria)

Este es el punto donde estoy atascado. ¿Cómo puedo encontrar la altura de la celda unitaria?

Busqué en libros de texto y descubrí que la altura $= 4r \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$. ¿Podrías explicar por qué es así?

Answer 1

Para calcular la altura de una celda unitaria, considera un vacío tetraédrico en un arreglo de empaquetamiento hexagonal cerrado. Se puede imaginar como 3 esferas sólidas tocándose entre sí y en el punto central, tienes otra esfera apilada sobre ellas. Se puede ver una versión interactiva en este sitio. La situación se ve así:

Si unes los centros de estas cuatro esferas, obtendrás un tetraedro. Básicamente es una pirámide con una base triangular. Estoy asumiendo que cada borde de nuestro tetraedro es igual a $a$.

Ahora, tienes una pirámide ($ABCD$) con una base equilátera ($\Delta BCD$), me gustaría que trazaras una perpendicular desde el punto más alto ($A$) hasta el centro ($G$) de la base triangular. Si me estás siguiendo correctamente, tendrás una figura como esta:

Todo lo que tenemos que hacer ahora es calcular la longitud $AG$. Para esto, simplemente usa el teorema de Pitágoras en $\Delta AGD$.

$$ \begin{align*} AD^2 &= AG^2 + GD^2 \tag{1} \end{align*} $$

Aunque sabemos que $AD=a$, el lado $GD$ sigue siendo desconocido. Pero es fácil de calcular. El punto $G$ es el centroide de $\Delta BCD$. Por lo tanto, la longitud $GD$ es igual a $a/\sqrt{3}$. Sustituyendo los valores en nuestra primera ecuación, obtenemos $AG=a \sqrt{\frac{2}{3}}$. Pero nota que esto es la mitad de la altura de nuestra celda unitaria. Por lo tanto, la altura requerida es $2a \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Answer 2

Intentaremos hacerlo usando las similitudes entre hcp y ccp. Aquí, sabemos que $hcp$ y $ccp$ tienen una red similar excepto por el hecho de que $hcp$ es del tipo ABAB mientras que $ccp$ es del tipo ABCABC. Por lo tanto, también sabemos que su fracción de empaquetamiento $(\phi)$ es la misma y $$\phi = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$$ Ahora, como mencionaste, el Volumen de la red hcp $= 6\sqrt{3} r^2h$. Hay un total de 6 átomos en hcp. Por lo tanto, $$\frac{6\left(\frac{4}{3}\right) \pi r^3}{6\sqrt{3} r^2 h} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$$ Simplificando esto obtenemos la altura de la red hcp $$h = 4r\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$$

Answer 3

En la estructura hexagonal compacta más cercana, $a = b = 2r$ y $c = 4 \sqrt{\frac23 }r$, donde $r$ es el radio atómico del átomo. Los lados de la celda unitaria son perpendiculares a la base, por lo tanto $\alpha = \beta = 90^\circ$.

Para una estructura compacta, los átomos en las esquinas de la base de la celda unitaria están en contacto, por lo tanto $a = b = 2 r$. La altura ($c$) de la celda unitaria, que es más difícil de calcular, es $c = 2a \sqrt{\frac23} r = 4 \sqrt{\frac23} r$.

Deje que el borde de la base hexagonal sea igual a $a$

Y la altura del hexágono sea igual a $h$

Y el radio de la esfera sea igual a $r$

La esfera central de la primera capa se encuentra exactamente sobre el vacío de la 2ª capa B.

La esfera central y las esferas de la 2ª capa B están en contacto

Entonces, En $\Delta PQR$ (un triángulo equilátero):

$\overline{PR} = 2r$, Dibuje $QS$ tangente en los puntos

$$∴ \text{En } \Delta QRS\text{: } \angle QRS = 30^\circ, \overline{SR} = r$$

$$\cos30^\circ = \frac{\overline{SR}}{\overline{QR}}$$

$$\overline{QR} = \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2r}{\sqrt 3}$$

$$∴ \overline{PQ} = \sqrt{\overline{PR}^2 - \overline{QR}^2} = \sqrt{4r^2 - \frac{4r^2}{3}}$$

$$h_1 = \sqrt{\frac{8r^2}{3}} = 2 \sqrt\frac{2}{3} r$$

$$∴ h = 2h_1 = 4 \sqrt{\frac23} r$$

Por lo tanto, en el cálculo de la eficiencia de empaquetamiento del arreglo hcp, la altura de la celda unitaria se toma como $4r\sqrt{\frac{2}{3}}$.

DESDE