Problema de densidad conjunta. Dos distribuciones uniformes

Question

Este es el problema:

Una aseguradora estima que Smith hasta la muerte es distribuido uniformemente en el intervalo [0,5], y Jone del tiempo hasta que la muerte también uniformemente distribuidos en el intervalo [0,10]. El asegurador asume el dos veces de la muerte son independientes uno del otro. Encontrar la probabilidad de que Smith es el primero de los dos muera.

El manual de la solución primero se multiplica por el uno al otro y hace esto:

$$\int_0^{5}\int_s^{10}\frac{1}{50}\ dj\ ds$$

No entiendo cómo esta integral se describe smith momento de la muerte sucediendo más rápido. Se tiene un rectángulo se dibujó con una sombra razón que no acabo de entender cómo describe este problema. Alguien me puede ayudar aquí. Me siento como que me falta algo obvio

Answer 1

Deje $X$ ser una variable aleatoria que denota Smith hasta la muerte y $0\le X\le5$. Deje $Y$ ser una variable aleatoria que denota Jone del tiempo hasta la muerte y $0\le Y\le10$. Ya que estamos buscando la probabilidad de que Smith es el primero de los dos muera, entonces estamos evaluando $\Pr[X<Y]$. Permítanos parcela de la región de integración que, $0\le X\le5$, $0\le Y\le10$, y $X<Y$.

Se basa en la figura de arriba, podemos ver fácilmente que la correspondiente región está delimitada por $x<y<10$$0\le x\le5$, por lo tanto \begin{align} \Pr[X<Y]&=\int_{x=0}^5\int_{y=x}^{10}f_{X,Y}(x,y)\ dx\ dy\\ &=\int_{x=0}^5\int_{y=x}^{10}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)\ dx\ dy\quad\Rightarrow\quad\text{%#%#% and %#%#% are independent}\\ &=\int_{x=0}^5\int_{y=x}^{10}\frac15\cdot \frac1{10}\ dx\ dy\\ &=\int_{x=0}^5\int_{y=x}^{10}\frac1{50}\ dx\ dy. \end{align} Obtenemos el resultado como el manual de la solución indicada.

Answer 2

En la probabilidad que buscamos $P(X=x,Y>x)$ para todos x posible. Que fijar $X=s$ y luego integrar $Y$ de todos los valores por encima del $s$; hacemos esto para cada posible '$x=s$', por lo tanto '$ds$' $(0,5)$.

Se puede pensar en términos discretos, donde sólo sería fijar cada x y mirar al y correspondiente > x probabilidad en cada caso x con la probabilidad de x y suma para arriba. Esta suma se pone aquí como integral para el caso continuo.

Answer 3

Sea $X$ tiempo de Smiths de muerte y que $Y$ vez de Jone de la muerte. Desea calcular $P(X<y a="" aleatorias="" calcular="" conjunta.="" cuenta.="" de="" densidad="" dibuja="" diferentes="" distribuci="" donde="" dos="" el="" en="" es="" esta="" estado="" f_x="" forma="" independientes="" integral="" integrar="" las="" libro="" lo="" necesita="" para="" parece="" paso="" poder="" por="" posibilidades="" probabilidad="" que="" regi="" se="" siguiente="" sobre="" son="" su="" suerte="" todas="" una="" variables="" y=""></y>