Es $(x+1)/(x^2-1)$ definido para $x=-1$ ?

Question

Puede parecer una pregunta tonta, pero no encuentro una respuesta clara. Si nos fijamos en la expresión, la respuesta debería ser "no", ya que $(-1)^2=1$ y estamos en problemas.

Sin embargo, si factorizo: $(x^2-1) =(x+1)(x-1)$ , $x=-1$ sigue siendo ilegal. Pero ahora los términos se anulan y me queda $1/(x-1)$ que está claramente definida para $x=-1$ ?

¿Qué ha pasado? ¿Se ha perdido alguna información en la manipulación o la expresión original era una "ilusión"? Espero que mi pregunta tenga sentido.

Answer 1

Se ha perdido algo de información: la división por $(x+1)$ sólo es válida cuando $x\ne-1$ ya que de lo contrario estaríamos dividiendo por $0$ . La función $\frac{x+1}{x^2-1}$ tendrá un agujero en $x=-1$ (el valor no existe), pero por lo demás es idéntico a $\frac{1}{x-1}$ .

Answer 2

Una forma de verlo es darse cuenta de que $\frac {ab}{ac} = \frac{b}{c}$ sólo si $a \ne 0$ Si $a = 0$ entonces no podemos decir $\frac{ab}{ac} = \frac{b}{c}$ . Por supuesto, no podemos decir $\frac{ab}{ac}$ es igual a cualquier cosa .

Así que no podemos decir $\frac{x+1}{x^2 - 1} = \frac 1{x - 1}$ . Nosotros puede diga $\frac{x+1}{x^2 - 1} =\begin{cases} \frac 1{x - 1}; x\ne -1;\text{(Note:}\frac 1{x - 1}\text{ is undefined if } x =1\text{)} \\\text{undefined}; x= -1 \end{cases} $

Esta es una afirmación totalmente diferente.

Answer 3

Esto es lo que se llama una singularidad extraíble. En este caso, tenemos que

$$\lim_{x\to -1}\frac{x+1}{x^2-1}$$

existe y es igual a $\lim_{x\to -1}\frac{1}{x-1}=-\frac12$ por lo que al establecer el valor de esa función como $-\frac12$ produce una nueva función que es igual a la anterior siempre que ésta esté definida $(\mathbb{R}\setminus\{-1\})$ y también continua en el nuevo punto de definición $(x=-1)$ .

Answer 4

Es exactamente el mismo problema que decir:

Es $x/x$ definido para $x=0$ ?

La respuesta es no .

Incluso si se pudiera cambiar la fórmula con álgebra para darle un valor (lo que obviamente tendría sentido), no está definido por sí mismo .

Answer 5

La expresión $\frac{x+1}{x^2-1}$ es indefinido en $x=-1$ por la razón que das: el denominador es $0$ . Y por supuesto $\frac1{x-1}=-\frac12$ cuando $x=-1$ . La explicación es que las dos expresiones son iguales sólo cuando ambos están definidos . No es cierto, sin embargo, que

$$\frac{x+1}{x^2-1}=\frac1{x-1}\;;$$

la igualdad sólo es válida para los valores de $x$ para el que se definen ambas expresiones. Esto excluye tanto a $x=1$ donde no se define ninguno de los dos, y $x=-1$ donde el primero es indefinido.