Demostrar el número de divisores

Question

¿Alguien me puede ayudar a demostrarlo? Esto se da como un hecho, pero no entiendo por qué es verdadera.

Para un entero $n$ mayor que 1, deje la facturización primera de $n$ % $ $$n=p_1^ap_2^bp_3^cp_4^d...p_k^m$donde a, b, c, d,... y m son números enteros nonegative, $p_1, p_2, ..., p_k$ son números primos. El número de divisores es %#% $ #%

Answer 1

Esto se resuelve mediante la combinatoria. Cualquier divisor $x$ $n$ será de la forma $$x=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$$ donde $0\le a\le n_1$, $0\le b\le n_2$, y así sucesivamente.

El $k$-tupla $(n_1,n_2,\cdots,n_k)$ únicamente especifica un divisor. Por lo tanto, el número de divisores será el número de maneras de elegir a$n_1,n_2,\cdots,n_k$, dadas las limitaciones.

El valor de $n_i$ $x$ es independiente del valor de $n_j$ todos los $i\ne j$. Así, el número de maneras de elegir a $x$ será el producto del número de formas de elegir a $n_i$ todos los $1\le i\le k$.

$$\text{Number of ways}=\Pi_i \text{ (Number of ways of choosing }n_i)$$

Ahora, $n_1$ puede tomar cualquier valor de $0$ a $a$, $n_2$ de$0$$b$, y así sucesivamente. Es decir, $n_1$ $(a+1)$ opciones, $n_2$ $(b+1)$ opciones, y así sucesivamente.

Por lo tanto, $$\text{Number of ways}=(a+1)\times(b+1)\times\cdots\times(m+1)$$

Answer 2

Considere la posibilidad de que todos los posibles divisores de $n$ puede ser creado por la elección de $p_1,p_2, \ldots, p_k$ en la cantidad apropiada.

Así, para la creación de un determinado divisor, podemos elegir $1$ $p_1$ o $2$ $p_1$'s o $3$ $p_1$'s y así hasta una selección de todos los $a$ $p_1$'s. A continuación, de nuevo tenemos la opción de no elegir ninguna $p_1$ a todos. Así que esto equivale a $a+1$ opciones.

Asimismo, para $p_2$, $b+1$ opciones y de esta manera podemos concluir que, para cualquier $p_r$, $r=1,2,3 \ldots k$, tenemos $t'+1$ opciones donde $p_r$ es elevado a la potencia $t'$ en el primer factorización de $n$.

Por último, desde todos los $p_i$'s son distintos, tenemos que multiplicar las opciones para obtener $d(n)$.

Así que el número total de divisores posible $=d(n)=(a+1)(b+1)\ldots (m+1)$