Matrices: inversa izquierda es también inverso derecho?

Question

Si $A$ $B$ son matrices cuadradas, y $AB=I$, entonces creo que también es cierto que $BA=I$. De hecho, esta página de la Wikipedia dice que "se desprende de la teoría de matrices". Asumo que hay un bonito sencillo de una línea de prueba, pero parece que no puede encontrar.

Nada exótico, aquí -- asumir que las matrices tienen un tamaño finito y sus elementos son números reales.

Esta no es la tarea (si es que te interesa). Mi última tarea fue de unos 45 años.

Answer 1

Desde $AB=I$ y $B=B(AB)=(BA)B$. Nota de $AB=I$de % que $1=\det(AB)=\det(A)\det(B)$ % que $\det(B)\neq0$.

$(BA)B=B$ Tenemos:

$(BA-I)B=0$. Desde entonces la $\det(B)\neq0$ $B$ no es un divisor de $0$. Así $BA=I$

Answer 2

Esto es cierto para las transformaciones lineales y por lo tanto también para matrices.

EDICIÓN: $AB=I\Rightarrow BAB=B\Rightarrow BABB^{-1}=BB^{-1}=I\Rightarrow BA=I$