Paseo aleatorio divergente

Question

Tengo un proceso que se $X_{n+1} = X_n\xi_n$ donde $\xi_n\sim\mathcal N(1,1)$ $\xi_n$ es independiente de $X_n$. Necesito demostrar que si $X_0\neq0$ $$ \mathsf P\{|X_n|>1\text{ para algunos }n\geq0\} = 1. $$ Desde esta me la construcción de un paseo aleatorio: $Y_n = \log|X_n|$, por lo que $$ Y_{n+1} = Y_n+\eta_n $$ donde $\eta_n = \log|\xi_n|$. Supongo que a partir de aquí, debería aplicar la Ley de los Grandes Números - pero estoy apiladas con él. ¿Podría usted ayudarme? Por ahora debo probar que $Y_n$ podría llegar a ser positivo.s. a partir de cualquier punto.

Por otro lado, $X_n$ es una martingala que quizás también útil para obtener el resultado deseado. Si ayuda, uno puede tomar la $\xi_n\sim\mathcal N(m,1)$ algunos $m\geq1$.

Answer 1

¿Cuál es la relación entre la secuencia de $\xi_n$ y $X_n$ secuencia? La afirmación es claramente falsa $\xi_n = 1/X_n$.

Answer 2

Sugerencia:

$E(x{n} | x{n-1}) = x{n-1} E(\xi{n}) = x_{n-1}$

$E(xn) = E( E(x{n} | x{n-1})) = E(x{n-1})$

Por lo tanto, $E(x_n)=x_0$

Hacer lo mismo para $E(x_n^2)$ podemos demostrar que la varianza tiende a infinito con $n$. Luego, <s>se hacen</s> (nos no hecho, necesitamos más que esto).

Answer 3

Didier Piau demostró perfectamente una equivalencia de este problema y unboundness de un paseo aleatorio y también dio una solución para el problema de este último en esta pregunta: cuando paseo aleatorio es superior sin límites