Supongamos que tengo un sistema dirigido en que no existe ningún elemento equivalente máxima o máxima. ¿Hay una forma de construir una red de los números reales estrictamente positivos que converge a $0$? Esto sería útil en argumentos donde secuencias uno utiliza $1/n$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $\langle D,\le\rangle$ ser un conjunto dirigido. Supongamos que $\nu:D\to\Bbb R$ es una red basada en la $D$ tal que $\nu_d>0$ por cada $d\in D$$\nu\to 0$. Elija $d_0\in D$, de modo que $\nu_d<1$ siempre $d\ge d_0$. Dado $d_n$, elija $d_{n+1}\in D$, de modo que $d_{n+1}>d_n$ $\nu_d<2^{-(n+1)}$ siempre $d\ge d_{n+1}$. Esta construcción es posible debido a que $\nu\to 0$.
Supongamos que hay algunas $e\in D$ tal que $d_n\le e$ por cada $n\in\Bbb N$; entonces es claro que tendríamos $0<\nu_e<2^{-n}$ por cada $n\in\Bbb N$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no $e$ puede existir: el conjunto de $\{d_n:n\in\Bbb N\}$ es ilimitado en la $D$.
Por el contrario, supongamos que el conjunto dirigido $D$ tiene una desenfrenada secuencia $\langle d_n:n\in\Bbb N\rangle$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $d_0\le d_1\le\dots\;$. Fix $d\in D$; hay algunos $m\in\Bbb N$ tal que $d_m\not\le d$. (De lo contrario, la secuencia de $\langle d_n:n\in\Bbb N\rangle$ estaría delimitada por $d$.) Deje $m(d)=\min\{n\in\Bbb N:d_n\not\le d\}$, y deje $\nu_d=2^{-m(d)}$; de esta forma se define la red $\nu:D\to\Bbb R$, y claramente $\nu_d>0$ por cada $d\in D$. Si $\epsilon>0$, elija $n\in\Bbb N$, de modo que $2^{-n}<\epsilon$. Ahora supongamos que $d\ge d_n$; a continuación,$m(d)>n$, lo $\nu_d<2^{-n}<\epsilon$. Por lo tanto, $\nu\to 0$.
Esto muestra que una condición necesaria y suficiente para la existencia de la clase de red que desea es que el conjunto dirigido $D$ contienen una desenfrenada de la secuencia. La primera de innumerables ordinal, $\omega_1$, no es tal dirigida conjunto, porque cada contables subconjunto de $\omega_1$ está acotada.
