Teoría de Control óptimo se puede aplicar a una serie más amplia de la dinámica de los problemas de control que puede el Cálculo de la Variación, porque OCT emplea el Principio del Máximo de Pontryagin.
La diferencia es análoga a la estática restringida de la optimización de la igualdad más arriba frente a la desigualdad de las restricciones. El anterior puede ser resuelto directamente por Langrange multiplicadores y sus Primer y Segundo Orden de las Condiciones. Esto último se requiere tomar en cuenta el límite de las soluciones a través de la de Kuhn-Tucker condiciones de holgura complementaria.
Por supuesto, Pait comentario es correcto: Vc requiere una variable de control (la función, $y(t)$). Es sólo por lo general no (nunca?) se refiere a como una variable de control.
Problemas Equivalentes
Ciertas clases de OCT problemas se pueden convertir en un equivalente CoV problema. Cuando el integrando $F[\bullet]$ es dos veces diferenciable y cóncava sobre el total admisible de la región de la variable de control, $u(t) \in \mathcal{U}$. Sólo entonces es la diferencia "sólo" el uso de una variable de control $u(t)$ -- básicamente se toma el lugar de $\dot y$ en el problema.
La fundamental CoV problema es:
\begin{align}
\min_{y} V [ y ] &= \int^T_0 F [ t, y(t), \dot y(t) ] \ dt \\
\text{subject to} \qquad \quad y(0) &= A \\
y(T) &= Z
\end{align}
Claramente, el optimizador elige $y(t)$$t \in [0,T]$, y por lo tanto, es una variable de control. Ya que esto es resuelto por Euler-Lagrange ecuación ($F_y - \frac{ d F_{\dot y} }{dt} = 0$, la ecuación (6) en las diapositivas vinculada a), $F$ debe ser dos veces diferenciable.
Esto puede ser escrito como una OCT problema de la forma:
\begin{align}
\min_{u(t)}& \quad V[u(t)] = \int_0^T F\big[ t, y(t), u(t) \big] \ dt \\[0.5em]
\text{subject to:}& \quad \dot y = f\big[ t, y(t), u(t) \big] \\
& \quad y(0) = A \\
& \quad y(T) = Z
\end{align}
la única diferencia es la explícita o implícita la inclusión de $\dot y$ en el integrando.
Donde El Control Óptimo Difiere
Más en general, de fundamental OCT problema es
\begin{align}
\max_{u(t)} V &= \int_0^T F\big[t, y(t), u(t) \big] \\
\text{s.t.} \qquad \dot y &= f(t,y,u) \\
y(0) &= A \\
\text{and} \quad u(t) &\in \mathcal{U}, \qquad \forall t \in [0,T]
\end{align}
donde $\mathcal{U}$ es admisible conjunto de $u$.
Después de configurar el Hamiltoniano $H[y,u,t]$ encontrará las cuatro condiciones mencionadas en el 2º conjunto de diapositivas que se enlaza. Lo clave es que el Principio del Máximo de Pontryagin es más general que el medio de las ecuaciones (12). Es, de hecho,
\begin{align}
\max_u \ &H(t,y,u, \mu) && \quad \forall t \in [0,T]
\end{align}
esta condición es a menudo escrita como $\frac{\partial H}{\partial u} = 0, \forall t$, lo cual está bien para los problemas continuas.
Más en general, de $\max_u$ condición permite que la variable de control discontinua (saltando en el límite de puntos) que implica el estado de la ecuación de $y$ es la pieza-sabio continua (es decir, va a tener problemillas al $u$ salta). Tales resultados son descartadas por los clásicos de Cálculo de la Variación.
Por ejemplo, trate de resolver
\begin{align}
\max_u V &= \int_0^2 (2y - 3u) \ dt \\
\text{s.t.} \qquad \qquad \dot y &= y + u \\
\text{given} \qquad y(0) &= 4 \\
u(t) & \in \mathcal{U} = [0,2]
\end{align}
con OCT y, a continuación, CoV. El FOC de la Hamiltoniana w.r.t. $u$ no ceder el interior de una solución:
\begin{equation}
\frac{\partial H}{\partial u} = - 3 + \mu
\end{equation}.
(Nota: esto viene de Chiang Elementos de la Dinámica de Optimización, que ha discusiones útiles en los Capítulos 2 y 7).
