Mostrar explícitamente la covarianza de las ecuaciones de Euler Lagrange

Question

Sé que la ecuación de Euler Lagrange (aquí sólo en 1D)

$$ \left(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x}}-\frac{\partial}{\partial x}\right)L\left(x,\dot{x},t\right)=0 $$

es invariante bajo transformaciones de coordenadas (invertibles) del tipo tipo $q=q\left(x,t\right)$ . Simplemente porque la derivación mediante el principio de mínima acción puede realizarse en cualquier sistema de coordenadas. Supongamos, sin embargo, que quiero demostrar explícitamente que si se cumple EL para $x$ que también se satisfaga para $q$ cambiando realmente variables en la ecuación.

Empiezo por reescribir $\frac{\partial}{\partial x}$ y $\frac{\partial}{\partial\dot{x}}$ como

\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} & = & \left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\\ \frac{\partial}{\partial\dot{x}} & = & \left(\frac{\partial q}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}} \end{eqnarray*} por lo que mi EL ahora dice

$$ \left(\frac{d}{dt}\left[\left(\frac{\partial q}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]-\left[\left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]\right)L\left(q,\dot{q},t\right)=0 $$

Luego dejé que $\frac{d}{dt}$ actuar desde la derecha y cobrar las condiciones, en algún momento posiblemente deba usar eso $\dot{q}\left(x,\dot{x},t\right)=\frac{\partial q}{\partial t}+\frac{\partial q}{\partial x}\dot{x}$ y $\dot{x}\left(q,\dot{q},t\right)=\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial x}{\partial q}\dot{q}$ para al final obtener

$$ \left(\mbox{some function}\right)\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial}{\partial q}\right)L\left(q,\dot{q},t\right)=0 $$

Sin embargo, la ampliación de la acción de $\frac{d}{dt}$ da un horrible lío que no voy a reproducir para usted.

La pregunta entonces es: ¿Es correcta la configuración que estoy intentando arriba (aunque feo), o hay alguna manera más limpia, sin hacer uso del principio de la mínima acción?

He encontrado algunas preguntas relacionadas con esto, tales como Ecuación de Euler Lagrange en diferentes marcos pero no estoy seguro de cómo utilizarlos.

Answer 1

$$ \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[\left(\frac{\partial q}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]-\left[\left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]\right)L\left(q,\dot{q},t\right)=0 $$

Querido Mikael, si hubieras llevado tu derivación un poco más lejos, habrías obtenido la respuesta correcta.

Primero nota que desde que escribiste: $q = q(x,t)$ , $q$ no depende explícitamente de $\dot x$ . Así que: $$ \frac{\partial q}{\partial \dot x} = 0$$ Además, como has escrito: $$ \dot q = \frac{\partial q}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial x}\dot x$$ Lo que significa que: $$ \frac{\partial \dot q}{\partial \dot x} = \frac{\partial q}{\partial x} \quad \text{simply reading from the expression of $ \N - punto q $}$$ Así que podemos simplificar su expresión original a: $$\left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \dot q}\right) - \frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial q} - \frac{\partial \dot q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \dot q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$$ Para que esto se parezca más a las ecuaciones EL, aplicamos la regla de la cadena y hacemos algunos reordenamientos de términos: $$\left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial q}{\partial x} \cdot\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial \dot q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \dot q}+ \frac{\partial q}{\partial x} \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$$

Obsérvese que los dos primeros términos se anulan porque: $$ \frac{\partial \dot q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} q = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial}{\partial x} q $$

Así que ahora sólo nos queda: $$\left( \frac{\partial q}{\partial x} \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$$

Pero eso sólo significa: $$\frac{\partial q}{\partial x} \cdot \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$$ Dado que la transformación de coordenadas no es singular, $\frac{\partial q}{\partial x} \neq 0$ , lo que implica que: $$ \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$$

P.D. La misma derivación fallaría si $q$ depende de $\dot x$ . Ver la respuesta de Qmechanic en la pregunta que citaste.