Si una de las fundamentales del sistema se basa en axiomas formulados en la lógica de primer orden, y que es consistente, entonces tiene un modelo, no importa lo ridículo de sus axiomas puede ser. Su pregunta, por tanto, presupone, bastante razonablemente, que no debemos estar satisfechos con cualquier modelo único, sino que deben modelos de demanda en la que al menos los números naturales de la modelo son el estándar de números naturales, no algunas cosas extrañas donde $0=1$ o donde hay un número de Gödel de una prueba de una contradicción en ZFC.
Es posible que una teoría para demostrar únicamente enunciados verdaderos acerca de los números naturales y, sin embargo, no admite ninguna modelos en los que los números naturales de la modelo son el estándar de números naturales. Puede producir un sistema de axiomas de la siguiente manera. Comience con su sistema de favoritos que demuestra que sólo los verdaderos axiomas acerca de los números naturales (tal vez la aritmética de Peano, o tal vez ZFC). Ampliar su vocabulario mediante la adición de una nueva primitiva constante símbolo $c$; a continuación, agregue los axiomas diciendo "$c$ es un número natural", $c\neq 0$, $c\neq 1$, $c\neq 2$, etc. Claramente, cualquier modelo de esta axiomática del sistema debe contener un número natural, es decir, el valor asignado a los símbolos $c$. No obstante, la declaración de $\theta$ acerca de los números naturales (donde "acerca de" incluye también hacer que los sentidos de su original axiomática del sistema y por lo tanto no mencionar explícitamente $c$) que es comprobable en este sistema es la verdad. La razón es que una prueba de $\theta$ contendría sólo un número finito de los nuevos axiomas, y todos esos axiomas puede ser satisfecha por dar $c$ suficientemente estándar de gran valor. De hecho, cualquier declaración que no se mencionan explícitamente $c$ y es comprobable en el ampliada del sistema ya estaba comprobable en el sistema original.
Además de querer una fundacional del sistema para admitir un modelo con el estándar de números naturales, uno puede querer que este modelo también tiene todos los conjuntos de números naturales, números reales, etc. Si uno realmente quiere esto (y en qué medida la "etc." debe extenderse) es probablemente una cuestión filosófica, dependiendo de si usted considera el "estándar de los números reales" o más complicados conjuntos bien definidos los conceptos. Creo que la mayoría de los matemáticos a lo que es "número natural" como una clara, inequívoca idea, pero cuando se trata de conjuntos de números naturales, o conjuntos de estos conjuntos, surgen diferencias de opinión. Por ejemplo, hay respetable matemáticos que no se considera la hipótesis continua a ser una declaración clara. Para alguien con un fondo Platónico actitud, por otro lado, ZFC podría ser de confianza, pero ZFC $V=L$ (Gödel del axioma de constructibility) podría no ser.
