Probar$x^2 = \sin(x) $ tiene exactamente dos soluciones en$[0, \pi/2]$

Question

Demostrar $x^2 = \sin(x)$ tiene exactamente dos soluciones en $[0, \pi/2]$

Creo que he obtenido una solución correcta, pero se siente de largo y descuidado. Estaba curioso por saber si hay una mejor y más cuidada manera de hacerlo.

Mi solución:

Deje $f(x) = x^2 - \sin(x)$

$f(0) = 0$ $f(x_0) = 0$ algunos $x_0 \in (\pi/6, \pi/2)$

(el resultado anterior ya he probado usando el Teorema del Valor Intermedio)

$$f'(x) = 2x - \cos(x)$$

$$f'(0) = -1 < 0 \space\text{ and }\space f'(\pi/6) = \pi/3 - \sqrt{3}/2 > 0$$

Usando de nuevo el Teorema del Valor Intermedio, $\exists\space x_1 \in (0, \pi/6)$ tal que $f'(x_1) = 0$.

$$f''(x) = 2 + \sin(x) > 0 \space\space\forall x\in \Re$$

Por lo tanto, $f'(x)$ es estrictamente creciente, por lo que el $x_1$ es la única solución a $f'(x_1) = 0$

Esto implica, además, que $f'(x) < 0 \space\space\forall x < x_1$$f'(x) > 0 \space\space\forall x > x_1$.

En otras palabras, para $0 \le x < x_1$, $f(x)$ es estrictamente decreciente, lo que implica que $0$ es la única solución a $f(x) = 0$ en este intervalo.

Del mismo modo, para $x_1 < x_0 < x \le \pi/2$, $f(x)$ es estrictamente creciente. Por lo tanto, $x_0$ es la única solución a $f(x) = 0$ en este intervalo.

Esto significa, $f(x) = x^2 - \sin(x) = 0$ tiene dos soluciones en $[0, \pi/2]$

Answer 1

Una forma un poco más corta: observe que$f(x):=x^2-\sin(x)$ es continuo en$\Bbb R$ y

ps

lo que implica, por el teorema del valor intermedio, que$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty,\quad f(\pi/4)=\pi^2/16-\sqrt2/2<\frac{10-8\cdot 1.4}{16}<0$ tiene al menos dos ceros. Y

$f$$$f''(x)=2+\sin x>0$ f$ so $ f (0) = 0$ is strictly convex, what implies that it have exactly two zeros (convex functions can have, at most, one local extremum, a minimum to be precise). This together with the fact that $ f (\ pi / 4) <0$, $ f (\ pi / 2)> 0 $ and $ [0, \ pi / 2] $.

Answer 2

Puede ser un poco largo, pero no es descuidado.

Si conoce el Teorema de Rolle, puede demostrar que hay como máximo dos soluciones más rápidamente: si hubiera tres soluciones para$f(x)=0$ (digamos$x_1<x_2<x_3$), habría al menos dos soluciones para$f'(x)=0$ (hay uno en$(x_1,x_2)$ y uno en$(x_2,x_3)$), y por lo menos una solución para$f''(x)=0$. Pero$f''(x)$ siempre es positivo.

Answer 3

Su prueba es un poco larga pero no descuidada.

Para una comprobación rápida con la obtención de soluciones aproximadas: al utilizar la expansión de la serie Taylor de$\sin$, tenemos:

$$x^2-x + \frac{x^3}{6} \cong 0$ $$$\implies x_1 = 0, ~~ x_2 \approx -3+\sqrt{15} \approx 0.87, ~~ x_3 \approx -3-\sqrt{15} $ $

dónde $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$.

Está claro que, desde arriba, solo dos soluciones $x_1$ y$x_2$ están en$[0,\frac{\pi}{2}]$; aquí,$x_2$ está lo suficientemente cerca de la solución exacta ($x_2 =0.87672$).