$a_{12},a_{23}$ y$a_{31}$ son las raíces positivas de la ecuación$x^3-6x^2+px-8=0,p\in R$ luego encuentra el valor de$\det(A)$

Question

Deje $A=[a_{ij}]_{3\times 3}$ ser una matriz.Si $A+A^T= \begin{bmatrix} 6 & 4 & 4\\ a_{21}+a_{12} & 10 & a_{23}+a_{32}\\ a_{31}+a_{13} &4&8 \end{bmatrix}$ where $a_{12},a_{23}$ and $a_{31}$ are the positive roots of the equation $x^3-6x^2+px-8=0,p\in R$ then find the value of $\det(A)$.Here $^T$ denotes the transpose of matrix $A.$

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Mi Intento:Let A $=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} &a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$,then $^T=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32}\\ a_{13} &a_{23}&a_{33} \end{bmatrix}$

$A+a^T=\begin{bmatrix} 2a_{11} & a_{12}+a_{21} & a_{13}+a_{31}\\ a_{12}+a_{21} & 2a_{22} & a_{23}+a_{32}\\ a_{13}+a_{31} &a_{23}+a_{32}&2a_{33} \end{bmatrix}$

pero $a+a^T= \begin{bmatrix} 6 & 4 & 4\\ a_{21}+a_{12} & 10 & a_{23}+a_{32}\\ a_{31}+a_{13} &4&8 \end{bmatrix}$

por lo $a_{11}=3,a_{22}=5,a_{33}=4,a_{21}+a_{12}=4,a_{31}+a_{13}=4,a_{23}+a_{32}=4$

También se $a_{12},a_{23} \text{and} a_{31}$ son las raíces positivas de la ecuación de $x^3-6x^2+px-8=0$,por lo que

$a_{12}+a_{23}+a_{31}=6,a_{12}.a_{23}.a_{31}=8,a_{12}a_{23}+a_{23}a_{31}+a_{31}a_{12}=p$
Para encontrar el determinante de a $A$,necesito encontrar los valores de $a_{12},a_{13},a_{21},a_{23},a_{31},a_{32}$ también, que yo no soy capaz de encontrar.

Por favor me ayude.Gracias.

Answer 1

Como se supone que$a_{12},a_{23},a_{31}$ es real y positivo, de la desigualdad AM-GM$$\frac{a_{12}+a_{23}+a_{31}}{3}\ge\sqrt[3]{a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}}$ $ la última desigualdad se convierte en una igualdad iif$a_{12}=a_{23}=a_{31}$.

Ahora, has encontrado que$a_{12}+a_{23}+a_{31}=6$ y$a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}=8$, lo que significa$$\frac{a_{12}+a_{23}+a_{31}}{3}=2=\sqrt[3]{a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}}$ $ Entonces,$$a_{12}=a_{23}=a_{31}=2$ $ Te dejo la parte restante.