Deje R ser un anillo con la unidad$1_R$ y deje que S (con la unidad$1_S$%) sea una subring de R. Demuestre que$1_S=1_R$ o$1_S$ es un divisor cero de R .

Question

Deje R ser un anillo con la unidad$1_R$ y deje que S (con la unidad$1_S$%) sea una subring de R. Demuestre que$1_S=1_R$ o$1_S$ es un divisor cero de R .

Mi intento:

Dejar $a \in S$. Entonces$1_S*a = a$ y este a existe en R para que$1_R*a=a$

Entonces

$1_S*a=1_R*a$

$1_S*a - 1_R*a = 0$

$(1_S-1_R)*a=0$

Entonces

1)$1_S=1_R$

2) a = 0

3)$1_S-1_R \neq 0$ y$a \neq 0$

Entonces no estoy seguro de qué hacer. Ni siquiera sé si esto es correcto. ¿Alguien puede ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Como los comentaristas han señalado, se tiene la idea clave para una respuesta, aunque en el post que nunca parece darse cuenta de que la tiene, y el 1) 2) 3) secuencia al final no es realmente va a ninguna parte.

Lo más parecido que se obtiene es la siguiente: $(1_S-1_R)\ast a=0$.

Para $a=1_S$, se obtiene

$$(1_S-1_R)\ast 1_S=0$$

Por un lado, podría ser que $1_S=1_R$. Por otro lado, si $1_S\neq 1_R$, entonces este es un producto de dos distinto de cero elementos del anillo, que es cero, de modo que ambas piezas son divisores de cero, y eso significa que $1_S$ es un divisor de cero.