¿Las series convergen o no?

Question

$$\sum_{n=1}^\infty~\left|\frac{\cos2^n}{n}\right|$ $ Simplemente confundí qué hacer. Lo siento, no entiendo. Pero esta tarea es importante para mí. ¿Puedes dar una solución completa?

Answer 1

Sugerencia: use la fórmula de ángulo doble para$\cos x$ para mostrar que en cada par de términos sucesivos, al menos un término tiene$|\cos 2^n| \geq \epsilon$ para un porcentaje fijo universal$\epsilon > 0$. Luego, usa eso para probar que la serie diverge.

Answer 2

Supongo que la tarea de la etiqueta se ha convertido en irrelevante y se trata de entender el argumento. Así que vamos a explicar lo que user2566092 insinuó.

El teorema de adición para el coseno es

$$\cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y.$$

La especialidad de $y$$x$, se obtiene el ángulo doble fórmula

$$\cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.$$

Con la identidad de $\cos^2 x + \sin^2 x \equiv 1$, podemos escribir que como

$$\cos (2x) = \cos^2 x - (1-\cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1.$$

Si $\lvert \cos x\rvert$ es pequeño, entonces la $\cos^2 x$ es muy pequeña, y $2\cos^2 x - 1$ está cerca de a $-1$, y por lo tanto $\lvert \cos (2x)\rvert$ no pequeñas.

Podemos cuantificar que: Si $\lvert\cos x\rvert \leqslant \frac{1}{2}$,$0 \leqslant \cos^2 x \leqslant \frac{1}{4}$, e $\cos (2x) \leqslant 2\cdot\frac{1}{4} - 1 = -\frac{1}{2}$, por lo que, a continuación,$\lvert \cos (2x)\rvert \geqslant \frac{1}{2}$. Así, en la secuencia de $a_n = \lvert\cos 2^n\rvert$, de cada dos términos consecutivos, al menos una es $\frac{1}{2}$ o mayor. Por lo tanto, la agrupación de dos términos consecutivos, vemos que

$$\sum_{n=1}^{2k} \left\lvert \frac{\cos 2^n}{n}\right\rvert \geqslant \sum_{m=1}^k \frac{\lvert\cos 2^{2m-1}\rvert + \lvert\cos 2^{2m}\rvert}{2m} \geqslant \sum_{m=1}^k \frac{1/2}{2m} = \frac{1}{4}\sum_{m=1}^k \frac{1}{m} > \frac{1}{4}\log k,$$

lo que demuestra que la serie no converge.