Si$x$ es un límite de$S$ en$\mathbb{R}$, entonces$x$ debe contener tanto puntos interiores como puntos exteriores de$S$

Question

De arriba es la instrucción que me ha dado a probar o refutar.

Creo que es falso.

Para $Q$ un número racional, no hay ningún punto interior ni exteriormente. así que cada punto en $Q$ es el límite de punto, pero cada pelota de cualquier punto en $Q$ no contienen tanto de interior y exterior de los puntos de $S$.

Es válido contra-ejemplo?

Y me estoy preguntando si $Q$ se compone de $\textrm{int} S + \textrm{ext} S + \textrm{boundary} S$ donde $S$ es subconjunto de a $Q$.

Es cierto para $R$, pero no estoy seguro de si todavía se mantienen para $Q$.

Answer 1

Tenga cuidado aquí. El límite de $S=\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ se $\partial S = \mathbb{R}$. Tienes razón en decir que el $\mathbb{Q}$ es parte de la frontera, pero si usted dibujó un abrir pelota alrededor de cualquier número irracional, sería también contienen ambos puntos en $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Esto es todavía válido contraejemplo, ya que - como se señaló - $\mathbb{Q}$ no tiene exterior/interior puntos, por lo $\mathbb{R}$ todavía no contenga ninguna.

Un simple contraejemplo podría ser el siguiente: $$S = \{x\in\mathbb{R}: x<a\} = (-\infty, a).$$ Se puede comprobar que $\partial S = \{a\}$, $a$ no es un punto interior, por lo que también contradice la declaración.

Answer 2

Si$S\subset\mathbb R$, el límite de$S$ es$\partial S=\overline A\cap\overline{A^c}$. Entonces, es verdad que$\partial S$ contiene puntos límite de$A$ y$A^c$. Pero a menos que$A$ y$A^c$ estén ambos cerrados (es decir,$A=\overline A$ y$A^c=\overline{A^c}$, no es el caso que$S\cap A\ne\varnothing$ y$S\cap A^c\ne\varnothing$. De hecho , los únicos conjuntos que satisfacen esta condición (tanto abiertos como cerrados) son$\varnothing$ y$\mathbb R$.