Si la adición se presenta en todas partes, ¿Dónde está en los teoremas fundamentales?

Question

MacLane el lema de "contigüidad surge en todas partes" es ampliamente conocida, y contigüidad ha sido identificado como un concepto clave (tal vez el concepto clave?) en la categoría de teoría, por ejemplo, en los libros por Goldblatt Topoi, Awodey Categoría de Teoría, y otros:

La noción de functor adjunto se aplica todo lo que hemos aprendido hasta ahora, para unificar y subsumir todos los diferentes asignación universal las propiedades que hemos encontrado, la conexión de los grupos a los límites exponenciales. Pero lo más importante, también marca un importante matemática fenómeno que es invisible sin la lente de la categoría de la teoría. De hecho, voy a hacer es cierto que la provocativa afirmación de que adjointness es un concepto fundamental de la lógica y de la matemática importancia que no es capturado en otras partes de las matemáticas. -- David Ellerman (citando Awodey) "Adjoints y emergencia: aplicaciones de una nueva teoría de adjoint functors" Axiomathes 2007

Si contigüidad, surge en todas partes no vemos más ejemplos de todo el espectro de las matemáticas?

Para la mayor parte, parece que el ejemplo de isomorfismo natural que es el más ampliamente citado es que entre la categoría de espacios vectoriales, y de su doble doble, como se discute aquí.

Incluso un reciente libro como Romano de Celosías y Conjuntos Ordenados solo da 3 ejemplos, incluyendo la de arriba.

La discusión en respuesta a la pregunta de "Un bestiario sobre adjunctions" preguntó en Matemáticas.SSE hace un año, principalmente gira en torno a estructuras algebraicas.

Del mismo modo, gran parte de la investigación parece ser muy abstracto y algebraicas en la naturaleza.

Pero ¿dónde está la aplicación de contigüidad y universal de la asignación de la propiedad en cualquiera de los teoremas fundamentales o sus generalizaciones (por ejemplo, f.t. álgebra --> el teorema de Bezout). Aquí está una lista corta de los teoremas fundamentales en la Wikipedia. O tal vez es posible en principio, pero se necesitaría una gran cantidad de esfuerzo para identificar las categorías, functors y relacionados con la construcción (transposición, unidad, counit?).

EDITAR

Aquí, por cierto, es una línea de tiempo histórico - implementado en Mathematica, de los avances en adjunctions, motivado por Qiaochu de Yuanes, la elección de la teoría de Galois para abordar esta cuestión:

Answer 1

Mi propia experiencia es que la contigüidad es una forma de caracterizar determinadas construcciones. A menudo estas construcciones aparecen luego en teoremas, que el estado de las propiedades de ellos.

E. g. si $f: X \to Y$ es una de morfismos de variedades, o el complejo de la analítica de los espacios, entonces el pushforward $f_*$ sobre las poleas puede ser caracterizado como el medico adjunto del pullback $f^*$, siendo este último, en cierto sentido, el más intuitivo de los dos functors. (Se define de modo que el tallo de $f^*\mathcal F$ $x \in X$ es canónicamente identificado con el tallo $\mathcal F_{f(x)}$ $\mathcal F$ a $f(x)$.) Algunos de los principales teoremas algebraica y geometría analítica son, a continuación, acerca de la $f_*$. (E. g. si $f$ es propio de $f_*$ preserva la coherencia, la descomposición teorema en la teoría de la perversa gavillas; ... .)

E. g. en teoría de la representación, de la inducción (en el sentido de la representación, donde se indujo una representación de un subgrupo $H$ a un grupo más grande $G$) se puede definir como un adjunto de restricción (de $G$-reps. a $H$-reps.), y hay muchos teoremas en diversos contextos acerca de las propiedades de la inducida por las representaciones.

E. g. tensor de producto se define por un medico adjunto de la propiedad, y hay muchos teoremas sobre el tensor de productos en diversos contextos.

Describir una cierta construcción como un functor adjunto normalmente proporciona evidencia de que es importante, y sugiere diversas formas de pensar. Pero que es a menudo el comienzo de la historia, no es el final ... .

Answer 2

Esa lista incluye el teorema fundamental de la teoría de Galois, que pasa a ser un gran ejemplo de la contigüidad! La teoría de Galois es todo acerca de la contigüidad

$$F : M \mapsto \text{Gal}(L/M)$$ $$G : H \mapsto L^H$$

entre los subconjuntos de un Galois de la extensión de $L/k$ y subconjuntos del grupo de Galois $G = \text{Gal}(L/k)$. (Las categorías correspondientes aquí se posets.) En general, existe un teorema para el efecto de que un medico adjunto par de functors canónicamente determina una equivalencia entre ciertas subcategorías, y el teorema fundamental de la teoría de Galois) en efecto identifica estas subcategorías, a saber, subextensions y subgrupos, y también identifica una segunda equivalencia, es decir, normal subextensions y normal subgrupos.

Formalmente ejemplo similar es el de la contigüidad

$$F : I \mapsto \{ x \in \mathbb{A}^n : f(x) = 0 \forall f \in I \}$$ $$G : V \mapsto \{ f \in k[x_1, ... x_n] : f(x) = 0 \forall x \in V \}$$

entre los subconjuntos de a $k[x_1, ... x_n]$ y subconjuntos del espacio afín $\mathbb{A}^n$ (donde $k$ es algebraicamente cerrado de campo). El teorema fundamental en este contexto (es decir, el Nullstellensatz) se identifican de nuevo el equivalente subcategorías, a saber radical ideales y algebraicas subvariedades, y también identifica una segunda equivalencia, es decir, el primer ideales y irreductible subvariedades.

Answer 3

Continuando con Matt E s comentarios: yo diría que podemos ver adjunctions en muchas propiedades fundamentales... que son a menudo la razón por la que un objeto se introduce en primer lugar, es decir, para lograr un cierto efecto deseado.

Por lo tanto, "Frobenius Reciprocidad" sobre inducida por las representaciones de los grupos es realmente el _defining_property_ (o "caracterización") de la inducida por las representaciones (no se preocupe por la izquierda/derecha cuestión por el momento). Por lo tanto, por ahora, si tal vez no en Frobenius de tiempo", lo que fue una vez el teorema se convierte en la definición, y lo que una vez fue la definición se convierte en una construcción para probar la existencia.

Me apresuro a señalar, o reclamo, que muy poco "formal" de la categoría de la teoría es necesaria para ver la contigüidad de las relaciones. Que es, una parte muy pequeña de la categoría de la teoría del vocabulario suficiente.

Sin la formalización de las cosas como las categorías y los functors, podemos dar menos común ejemplos: (integración en contra) de Eisenstein de la serie es un tipo de adjunto a la toma de Mellin de transformación de término constante de automorphic formas. (Integración en contra) de la pseudo-Eisenstein serie es medico adjunto (integración de) término constante en contra de las funciones de prueba en $y=\Im z$, en la mitad superior del plano, por ejemplo.

A la izquierda o a la derecha exactitud de niza functors es más sana demostrado por la observación de que los functors están a la derecha o a la izquierda adjoints. Muchos de los functors de la gavilla de la teoría (ya sea ordinaria de espacios topológicos o algo más elaborado) se ajustan a adjoint pares: global secciones functor y constante gavilla functor, sheafification y la inclusión de las poleas para presheaf, etc.

La formación de universal que envuelve el álgebra de la Mentira álgebra es (a la izquierda) adjunto a la un poco olvidadizo functor que crea una Mentira algebra de un álgebra asociativa por $[x,y]=xy-yx$.

A menudo adjoints a olvidadizo functors son importantes: la formación del polinomio anillos que queda adjunto a la olvidadizo functor que convierte un anillo a un conjunto. La formación de grupos gratis de forma similar. La extensión de escalares de un vector de espacio o módulo adjunto a olvidar escalares sólo a los más pequeños de campo (o anillo).

Espero que otras personas van a tener más cosas que decir! :)

Answer 4

Parafraseando Lawvere un poco, la semántica y la sintaxis son adjunto a la derecha. Vamos a recordar algunas de las definiciones. Suponga que dos fuertemente inaccesible cardenales – aunque, probablemente, uno es suficiente.

Deje $\textbf{FinCard}$ ser la categoría de finito cardenales ($0, 1, 2, \ldots$) y todos los mapas entre ellos. (Por lo $\textbf{FinCard}$ es un pequeño esqueleto de la categoría de conjuntos finitos.) Un Lawvere teoría es una pequeña categoría $\mathbb{T}$ equipada con un bijective-en-objetos functor $\textbf{FinCard} \to \mathbb{T}$ que conserva todo finito co-productos. La categoría de Lawvere teorías es la subcategoría $\mathcal{T}$ de la coslice categoría $(\{ \textbf{FinCard} \} \downarrow \textbf{Cat})$ atravesado por Lawvere teorías.

Un álgebra de tipo $\mathbb{T}$ es un producto: la preservación de functor $\mathbb{T}^\textrm{op} \to \textbf{Set}$. Un homomorphism de álgebras de tipo $\mathbb{T}$ es una transformación natural de tales functors. Escribir $\textbf{Mod}(\mathbb{T})$ el (concreto) de la categoría de modelos de $\mathbb{T}$.

Teorema (Lawvere). Deje $\textbf{CAT}$ ser la categoría de local pequeño categorías, y deje $\mathcal{K}$ a la totalidad de la subcategoría de la rebanada de la categoría $(\textbf{CAT} \downarrow \{ \textbf{Set} \})$ atravesado por los functors $U : \mathcal{C} \to \textbf{Set}$ de manera tal que la clase de naturales transformaciones $U(-)^n \Rightarrow U(-)$ es pequeña para cada número natural $n$. A continuación, $\textbf{Mod}(-)$ es un functor $\mathcal{T}^\textrm{op} \to \mathcal{K}$, y tiene un derecho adjoint $\textbf{Th}(-) : \mathcal{K}^\textrm{op} \to \mathcal{T}$, el cual es definido de la siguiente manera: para un objeto determinado $U : \mathcal{C} \to \textbf{Set}$ en $\mathcal{K}$, $\textbf{Th}(U)$ es el opuesto de la plena subcategoría se extendió por la imagen de este producto único-la preservación de functor $\textbf{FinCard}^\textrm{op} \to [\mathcal{C}, \textbf{Set}]$$1 \mapsto U$. Aquí, por adjointness nos referimos no es un bijection $$\mathcal{K}(U, \textbf{Mod}(\mathbb{T})) \cong \mathcal{T}(\mathbb{T}, \textbf{Th}(U))$$ que es natural en $U$$\mathbb{T}$.

En un sentido, esta es una categorification del folclore Galois correspondencia entre la verdad y la provability en la lógica. Hay otro resultado a lo largo de esta vena en el topos de la teoría, es decir, Diaconescu del teorema. Es quizás la cosa más cercana a un teorema fundamental en el tema, y ahora he estado un caso especial:

Teorema (Diaconescu). Deje $\mathbb{A}$ ser una categoría pequeña con límites finitos, y deje $\mathcal{E}$ ser un local pequeño y cocomplete topos. Deje $\hat{\mathbb{A}}$ ser la presheaf topos $[\mathbb{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, y deje $y : \mathbb{A} \to \hat{\mathbb{A}}$ ser el Yoneda incrustación.

1. Para cada izquierdo functor exacto $F : \mathbb{A} \to \mathcal{E}$, no hay una única izquierda exacta functor $F^* : \hat{\mathbb{A}} \to \mathcal{E}$ tal que $F^* y \cong F$, e $F^*$ es la izquierda adjunto a la functor $F_* : \mathcal{E} \to \hat{\mathbb{A}}$ definido por $F_* E = \mathcal{E} (F(-), E)$.

2. Esto se extiende a una equivalencia entre la categoría de la izquierda exacta functors $\mathbb{A} \to \mathcal{E}$ y la categoría de la izquierda exacta a la izquierda adjunto functors $\hat{\mathbb{A}} \to \mathcal{E}$, y esta equivalencia es pseudonatural en $\mathbb{A}$$\mathcal{E}$. (Aquí se $\mathbb{A}$ es considerado como un objeto en la categoría de los pequeños finitely-categorías completas y a la izquierda exacta functors.)

¿Por qué es esto importante? Porque nos dice que cada presheaf topos $\hat{\mathbb{A}}$ es una clasificación de los "topos" de la teoría geométrica de la izquierda exacta functors $\mathbb{A} \to \textbf{Set}$. Esto suena muy abstracto, pero en realidad Lawvere ya más o menos mostraron que todos los finitary algebraicas teorías son de esta forma. Para ser precisos, si $\mathbb{T}$ es un finitary teoría algebraica de e $\mathbb{A}$ es el opuesto de la categoría de finitely-presentado modelos de $\mathbb{T}$$\textbf{Set}$, entonces la categoría de la izquierda exacta functors $\mathbb{A} \to \textbf{Set}$ es equivalente a la categoría de (no necesariamente finitely presentados) $\mathbb{T}$-modelos en $\textbf{Set}$. Pensamos en $\mathbb{A}$ como la categoría sintáctica de $\mathbb{T}$: sus objetos pueden ser considerados como algunos bien formado fórmulas en el lenguaje de la $\mathbb{T}$, cuya interpretación en un modelo de $\mathbb{T}$ está dada por la izquierda functor exacto $\mathbb{A} \to \textbf{Set}$ que representa el modelo.